Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem C. 1400. (February 2017)

C. 1400. Prove that if the interior angles of a convex hexagon are equal then the difference of each pair of opposite sides is the same.

(5 pont)

Deadline expired on March 10, 2017.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen \(\displaystyle ABCDEF\) olyan hatszög, melynek minden szöge egyenlő, vagyis \(\displaystyle 120°\)-os. Ekkor a külső szögei \(\displaystyle 60°\)-osak. Így, ha meghúzzuk a \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle DE\) és \(\displaystyle AF\) egyeneseket, akkor ezek metszéspontjai egy szabályos háromszöget határoznak meg. Legyen ez a \(\displaystyle KLM\) háromszög.

Az \(\displaystyle MEF\), \(\displaystyle DLC\) és \(\displaystyle ABK\) háromszögek is szabályosak, hiszen minden szögük 60 fokos. Jelölje ezen háromszögek oldalainak hosszát rendre \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) és \(\displaystyle z\).

Mivel \(\displaystyle KLM\) szabályos, ezért oldalai egyenlő hosszúak:

\(\displaystyle ML=LK=KM,\)

\(\displaystyle ME+ED+DL=LC+CB+BK=KA+AF+FM,\)

\(\displaystyle x+ED+y=y+CB+z=z+AF+x.\)

\(\displaystyle x\) helyére \(\displaystyle EF\)-et, \(\displaystyle y\) helyére \(\displaystyle DC\)-t, \(\displaystyle z\) helyére pedig \(\displaystyle AB\)-t írva:

\(\displaystyle EF+ ED+ DC= DC+CB+ AB= AB+AF+EF.\)

Tehát

\(\displaystyle EF+ ED+ DC= DC+CB+ AB,\)

amiből \(\displaystyle EF+ ED= CB+ AB\) és így \(\displaystyle ED-AB=CB-EF\).

Hasonlóan látható be, hogy \(\displaystyle CB-EF=AF-DC\) és \(\displaystyle ED-AB=AF-DC\).


Statistics:

114 students sent a solution.
5 points:82 students.
4 points:2 students.
3 points:2 students.
2 points:10 students.
1 point:3 students.
0 point:15 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2017