KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

Kifordítható

tetraéder

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 1400. Prove that if the interior angles of a convex hexagon are equal then the difference of each pair of opposite sides is the same.

(5 points)

This problem is for grade 1 - 10 students only.

Deadline expired on 10 March 2017.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Legyen \(\displaystyle ABCDEF\) olyan hatszög, melynek minden szöge egyenlő, vagyis \(\displaystyle 120°\)-os. Ekkor a külső szögei \(\displaystyle 60°\)-osak. Így, ha meghúzzuk a \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle DE\) és \(\displaystyle AF\) egyeneseket, akkor ezek metszéspontjai egy szabályos háromszöget határoznak meg. Legyen ez a \(\displaystyle KLM\) háromszög.

Az \(\displaystyle MEF\), \(\displaystyle DLC\) és \(\displaystyle ABK\) háromszögek is szabályosak, hiszen minden szögük 60 fokos. Jelölje ezen háromszögek oldalainak hosszát rendre \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) és \(\displaystyle z\).

Mivel \(\displaystyle KLM\) szabályos, ezért oldalai egyenlő hosszúak:

\(\displaystyle ML=LK=KM,\)

\(\displaystyle ME+ED+DL=LC+CB+BK=KA+AF+FM,\)

\(\displaystyle x+ED+y=y+CB+z=z+AF+x.\)

\(\displaystyle x\) helyére \(\displaystyle EF\)-et, \(\displaystyle y\) helyére \(\displaystyle DC\)-t, \(\displaystyle z\) helyére pedig \(\displaystyle AB\)-t írva:

\(\displaystyle EF+ ED+ DC= DC+CB+ AB= AB+AF+EF.\)

Tehát

\(\displaystyle EF+ ED+ DC= DC+CB+ AB,\)

amiből \(\displaystyle EF+ ED= CB+ AB\) és így \(\displaystyle ED-AB=CB-EF\).

Hasonlóan látható be, hogy \(\displaystyle CB-EF=AF-DC\) és \(\displaystyle ED-AB=AF-DC\).


Statistics on problem C. 1400.
114 students sent a solution.
5 points:82 students.
4 points:2 students.
3 points:2 students.
2 points:10 students.
1 point:3 students.
0 point:15 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, February 2017

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley