KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 1401. (February 2017)

C. 1401. The positive numbers \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) satisfy the equation \(\displaystyle x^3+y^3=x-y\). Prove that \(\displaystyle x^2+y^2<1\).

(5 pont)

Deadline expired on 10 March 2017.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Mivel \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) pozitív számok, így

\(\displaystyle x^3+y^3=x-y=\frac{(x-y)(x^2+xy+y^2 )}{x^2+xy+y^2}=\frac{x^3-y^3}{x^2+xy+y^2}.\)

Átrendezve:

\(\displaystyle x^2+xy+y^2=\frac{x^3-y^3}{x^3+y^3}.\)

Ebből következik, hogy

\(\displaystyle x^2+y^2<x^2+xy+y^2=\frac{x^3-y^3}{x^3+y^3}<1,\)

mert a tört számlálója kisebb, mint a nevezője.

Tehát \(\displaystyle x^2+y^2<1\).


Statistics:

119 students sent a solution.
5 points:96 students.
4 points:6 students.
3 points:4 students.
2 points:5 students.
0 point:6 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley