KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 1403. An \(\displaystyle n\)-element set has half as many \(\displaystyle {(k-1)}\) element subsets as \(\displaystyle k\)-element subsets, and \(\displaystyle \frac 74\) times as many \(\displaystyle {(k + 1)}\) element subsets as \(\displaystyle k\)-element subsets. Determine the number of \(\displaystyle k\)-element subsets of the set.

(Proposed by L. Koncz, Budapest)

(5 points)

Deadline expired on 10 March 2017.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Egy \(\displaystyle n\) elemű halmaz \(\displaystyle k\) elemű részhalmazainak a száma \(\displaystyle \binom nk\).

Így a feladat két állítása alapján a következő két egyenletet írhatjuk fel:

\(\displaystyle 2\cdot\binom{n}{k-1}=\binom nk,\)

\(\displaystyle \frac 74\cdot\binom nk=\binom{n}{k+1}.\)

Kifejtve a képleteket:

\(\displaystyle \frac{2n!}{(k-1)!\cdot(n-k+1)!}=\frac{n!}{k!\cdot(n-k)!},\)

\(\displaystyle \frac74\cdot\frac{n!}{k!\cdot(n-k)!}=\frac{n!}{(k+1)!\cdot(n-k-1)!}.\)

Egyszerűsítve:

\(\displaystyle \frac{2}{n-k+1}=\frac1k,\)

\(\displaystyle \frac74\cdot \frac{1}{n-k}=\frac{1}{k+1}.\)

Átszorozva és rendezve az egyenleteket:

\(\displaystyle 3k-1=n,\)

\(\displaystyle 11k+7=4n.\)

Az \(\displaystyle n\) értékét az első egyenletből beírva a másodikba:

\(\displaystyle 11k+7=12k-4,\)

\(\displaystyle k=11,\)

\(\displaystyle n=3k-1=32.\)

A halmaz \(\displaystyle k\) elemű részhalmazainak a száma \(\displaystyle \binom nk=\binom{32}{11}=129\,024\,480\).


Statistics on problem C. 1403.
163 students sent a solution.
5 points:118 students.
4 points:22 students.
3 points:7 students.
2 points:3 students.
0 point:13 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, February 2017

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley