KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 1403. (February 2017)

C. 1403. An \(\displaystyle n\)-element set has half as many \(\displaystyle {(k-1)}\) element subsets as \(\displaystyle k\)-element subsets, and \(\displaystyle \frac 74\) times as many \(\displaystyle {(k + 1)}\) element subsets as \(\displaystyle k\)-element subsets. Determine the number of \(\displaystyle k\)-element subsets of the set.

(Proposed by L. Koncz, Budapest)

(5 pont)

Deadline expired on March 10, 2017.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Egy \(\displaystyle n\) elemű halmaz \(\displaystyle k\) elemű részhalmazainak a száma \(\displaystyle \binom nk\).

Így a feladat két állítása alapján a következő két egyenletet írhatjuk fel:

\(\displaystyle 2\cdot\binom{n}{k-1}=\binom nk,\)

\(\displaystyle \frac 74\cdot\binom nk=\binom{n}{k+1}.\)

Kifejtve a képleteket:

\(\displaystyle \frac{2n!}{(k-1)!\cdot(n-k+1)!}=\frac{n!}{k!\cdot(n-k)!},\)

\(\displaystyle \frac74\cdot\frac{n!}{k!\cdot(n-k)!}=\frac{n!}{(k+1)!\cdot(n-k-1)!}.\)

Egyszerűsítve:

\(\displaystyle \frac{2}{n-k+1}=\frac1k,\)

\(\displaystyle \frac74\cdot \frac{1}{n-k}=\frac{1}{k+1}.\)

Átszorozva és rendezve az egyenleteket:

\(\displaystyle 3k-1=n,\)

\(\displaystyle 11k+7=4n.\)

Az \(\displaystyle n\) értékét az első egyenletből beírva a másodikba:

\(\displaystyle 11k+7=12k-4,\)

\(\displaystyle k=11,\)

\(\displaystyle n=3k-1=32.\)

A halmaz \(\displaystyle k\) elemű részhalmazainak a száma \(\displaystyle \binom nk=\binom{32}{11}=129\,024\,480\).


Statistics:

163 students sent a solution.
5 points:118 students.
4 points:22 students.
3 points:7 students.
2 points:3 students.
0 point:13 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley