Problem C. 1405. (February 2017)

C. 1405. There are 10 balls in a bag, 6 of which are red. We play the following game: four balls are drawn at random. If \(\displaystyle k\) of them are red, we get \(\displaystyle k^2\) forints (HUF Hungarian currency). What is the expected value of the money gained if one game costs 1 forint?

(5 pont)

Deadline expired on March 10, 2017.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A zsákban lévő 10 golyó közül 4 golyót véletlenszerűen kiválasztani \(\displaystyle \binom{10}{4}=210\) féleképpen lehet. Ez az összes esetek száma.

Ha \(\displaystyle k=0\) pirosat és 4 másikat választunk, ezt \(\displaystyle \binom60\cdot\binom44=1\) féleképpen tehetjük meg. Nyereményünk ekkor \(\displaystyle k^2=0\) Ft.

Ha \(\displaystyle k=1\) pirosat és 3 másikat választunk, ezt \(\displaystyle \binom61\cdot\binom43=24\) féleképpen tehetjük meg. Nyereményünk ekkor \(\displaystyle k^2=1\) Ft.

Ha \(\displaystyle k=2\) pirosat és 2 másikat választunk, ezt \(\displaystyle \binom62\cdot\binom42=90\) féleképpen tehetjük meg. Nyereményünk ekkor k2=4 Ft.

Ha \(\displaystyle k=3\) pirosat és 1 másikat választunk, ezt \(\displaystyle \binom63\cdot\binom41=80\) féleképpen tehetjük meg. Nyereményünk ekkor \(\displaystyle k^2=9\) Ft.

Ha \(\displaystyle k=4\) pirosat választunk, ezt \(\displaystyle \binom64\cdot\binom40=15\) féleképpen tehetjük meg. Nyereményünk ekkor \(\displaystyle k^2=16\) Ft.

Nyereményünk várható értéke:

\(\displaystyle \frac{1\cdot0+24\cdot1+90\cdot4+80\cdot9+15\cdot16}{210}\mathrm{~~~ Ft}=6,4 \mathrm{~Ft}.\)

Mivel egy játék 1 Ft-ba kerül, így nyereségünk várható értéke 5,4 Ft.

Statistics:

79 students sent a solution.
5 points:	Agócs Katinka, Balbisi Mirjam, Dankowsky Anna Zóra, Demeter Bianka Vivien, Demeter Gergő, Dézsi Viktória, Édes Lili, Horváth 546 János, Jámbor Lili, János Zsuzsa Anna, Kertész 79 Attila, Kis 999 Alexandra, Kocsis Ábel, Kormányos Hanna Rebeka, Kovács 526 Tamás, Nagy Olivér, Németh Csilla Márta, Paréj Balázs, Perecz Gergely Tardos, Pszota Máté, Rittgasszer Ákos, Surján Anett, Szabadfalvi Dániel, Szabó Alexandra, Szalay Gergő, Szécsi Adél Lilla, Szőnyi Laura, Szűcs 865 Eszter, Tanács Viktória, Tatai Mihály, Thuróczy Mylan, Török Boldizsár, Tulipán Levente, Varga 274 Tamás, Zsombó István.
4 points:	18 students.
3 points:	5 students.
2 points:	4 students.
1 point:	11 students.
0 point:	6 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2017