KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

KöMaL Füzetek 1: Tálalási javaslatok matematika felvételire

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 1407. In a parallelogram \(\displaystyle ABCD\), \(\displaystyle M\) and \(\displaystyle N\) are points on sides \(\displaystyle AD\) and \(\displaystyle DC\), respectively, such that \(\displaystyle \frac{AM}{MD}=\frac{DN}{NC}=\frac{7}{11}\). Let \(\displaystyle P\) denote the intersection of lines \(\displaystyle BM\) and \(\displaystyle AN\).

Prove that the areas of triangle \(\displaystyle APB\) and quadrilateral \(\displaystyle DMPN\) are equal.

(Based on the idea of L. Longáver, Nagybánya)

(5 points)

This problem is for grade 1 - 10 students only.

Deadline expired on 10 April 2017.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Használjuk az ábra jelöléseit.

Mivel \(\displaystyle \frac{MD}{AM}=\frac{NC}{DN}=\frac{11}{7}\) és \(\displaystyle AD=AM+MD\) és \(\displaystyle DC=DN+NC\), így \(\displaystyle AD=AM+\frac{11}{7} AM=\frac{18}{7} AM\), valamint \(\displaystyle DC=DN+\frac{11}{7} DN=\frac{18}{7} DN\). Ebből \(\displaystyle AM=\frac{7}{18} AD\) és \(\displaystyle DN=\frac{7}{18} DC\).

\(\displaystyle T_{ABMΔ}=\frac{AB\cdot AM\cdot \sinα}{2}=\frac{7}{18}\cdot\frac{AB\cdot AD\cdot \sinα}{2},\)

\(\displaystyle T_{ADNΔ}=\frac{AD\cdot DN\cdot \sin⁡(π-α)}{2}=\frac{7}{18}\cdot\frac{AD\cdot DC\cdot \sinα}{2}.\)

Mivel a paralelogrammában \(\displaystyle AB=DC\), ezért \(\displaystyle T_{ABMΔ}=T_{ADNΔ}\). Így \(\displaystyle T_{APBΔ}=T_{ABMΔ}-T_{AMPΔ}=T_{ADNΔ}-T_{AMPΔ}=T_{DMPN}\). Tehát \(\displaystyle T_{APBΔ}=T_{DMPN}\).


Statistics on problem C. 1407.
102 students sent a solution.
5 points:84 students.
4 points:5 students.
3 points:6 students.
2 points:1 student.
0 point:5 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, March 2017

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley