English Információ A lap Pontverseny Cikkek Hírek Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 1407. In a parallelogram $\displaystyle ABCD$, $\displaystyle M$ and $\displaystyle N$ are points on sides $\displaystyle AD$ and $\displaystyle DC$, respectively, such that $\displaystyle \frac{AM}{MD}=\frac{DN}{NC}=\frac{7}{11}$. Let $\displaystyle P$ denote the intersection of lines $\displaystyle BM$ and $\displaystyle AN$.

Prove that the areas of triangle $\displaystyle APB$ and quadrilateral $\displaystyle DMPN$ are equal.

(Based on the idea of L. Longáver, Nagybánya)

(5 points)

This problem is for grade 1 - 10 students only.

Deadline expired on 10 April 2017.

Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Használjuk az ábra jelöléseit.

Mivel $\displaystyle \frac{MD}{AM}=\frac{NC}{DN}=\frac{11}{7}$ és $\displaystyle AD=AM+MD$ és $\displaystyle DC=DN+NC$, így $\displaystyle AD=AM+\frac{11}{7} AM=\frac{18}{7} AM$, valamint $\displaystyle DC=DN+\frac{11}{7} DN=\frac{18}{7} DN$. Ebből $\displaystyle AM=\frac{7}{18} AD$ és $\displaystyle DN=\frac{7}{18} DC$.

$\displaystyle T_{ABMΔ}=\frac{AB\cdot AM\cdot \sinα}{2}=\frac{7}{18}\cdot\frac{AB\cdot AD\cdot \sinα}{2},$

$\displaystyle T_{ADNΔ}=\frac{AD\cdot DN\cdot \sin⁡(π-α)}{2}=\frac{7}{18}\cdot\frac{AD\cdot DC\cdot \sinα}{2}.$

Mivel a paralelogrammában $\displaystyle AB=DC$, ezért $\displaystyle T_{ABMΔ}=T_{ADNΔ}$. Így $\displaystyle T_{APBΔ}=T_{ABMΔ}-T_{AMPΔ}=T_{ADNΔ}-T_{AMPΔ}=T_{DMPN}$. Tehát $\displaystyle T_{APBΔ}=T_{DMPN}$.

Statistics on problem C. 1407.
 102 students sent a solution. 5 points: 84 students. 4 points: 5 students. 3 points: 6 students. 2 points: 1 student. 0 point: 5 students. Unfair, not evaluated: 1 solution.

• Problems in Mathematics of KöMaL, March 2017

•  Támogatóink: Morgan Stanley