KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 1410. (March 2017)

C. 1410. Let \(\displaystyle b=\sqrt{a+\sqrt a}\,\), where \(\displaystyle a\) is a positive integer. Prove that \(\displaystyle b\) cannot be an integer.

(5 pont)

Deadline expired on 10 April 2017.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Indirekt bizonyítás: Tegyük fel, hogy \(\displaystyle b\) egész szám. Mivel \(\displaystyle a>0\), így \(\displaystyle b>0\) is teljesül. Emeljük az egyenlet mindkét oldalát négyzetre: \(\displaystyle b^2=a+\sqrt a\). Mivel \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b^2\) egész számok, így \(\displaystyle \sqrt a\)-nak is egésznek kell lennie, vagyis \(\displaystyle a\) négyzetszám. Legyen \(\displaystyle \sqrt a=c\), ahol \(\displaystyle c>0\), így \(\displaystyle a=c^2\).

Ezeket beírva az egyenletünkbe: \(\displaystyle b^2=c^2+c\). Látszik, hogy \(\displaystyle c^2<b^2\), viszont \(\displaystyle b^2=c^2+c<c^2+2c+1=(c+1)^2\). Mivel \(\displaystyle c^2\) és \(\displaystyle (c+1)^2\) között nincs négyzetszám, ezért ellentmondásra jutottunk.

Tehát \(\displaystyle b\) nem lehet egész szám.

Dobák Dániel (Budapest V. Kerületi Eötvös József Gimnázium, 10. évf.) dolgozata alapján


Statistics:

172 students sent a solution.
5 points:101 students.
4 points:24 students.
3 points:10 students.
2 points:12 students.
1 point:11 students.
0 point:12 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley