KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 1410. Let \(\displaystyle b=\sqrt{a+\sqrt a}\,\), where \(\displaystyle a\) is a positive integer. Prove that \(\displaystyle b\) cannot be an integer.

(5 points)

Deadline expired on 10 April 2017.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Indirekt bizonyítás: Tegyük fel, hogy \(\displaystyle b\) egész szám. Mivel \(\displaystyle a>0\), így \(\displaystyle b>0\) is teljesül. Emeljük az egyenlet mindkét oldalát négyzetre: \(\displaystyle b^2=a+\sqrt a\). Mivel \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b^2\) egész számok, így \(\displaystyle \sqrt a\)-nak is egésznek kell lennie, vagyis \(\displaystyle a\) négyzetszám. Legyen \(\displaystyle \sqrt a=c\), ahol \(\displaystyle c>0\), így \(\displaystyle a=c^2\).

Ezeket beírva az egyenletünkbe: \(\displaystyle b^2=c^2+c\). Látszik, hogy \(\displaystyle c^2<b^2\), viszont \(\displaystyle b^2=c^2+c<c^2+2c+1=(c+1)^2\). Mivel \(\displaystyle c^2\) és \(\displaystyle (c+1)^2\) között nincs négyzetszám, ezért ellentmondásra jutottunk.

Tehát \(\displaystyle b\) nem lehet egész szám.

Dobák Dániel (Budapest V. Kerületi Eötvös József Gimnázium, 10. évf.) dolgozata alapján


Statistics on problem C. 1410.
172 students sent a solution.
5 points:101 students.
4 points:24 students.
3 points:10 students.
2 points:12 students.
1 point:11 students.
0 point:12 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.
Unfair, not evaluated:1 solution.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, March 2017

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley