Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem C. 1413. (April 2017)

C. 1413. Find all natural numbers \(\displaystyle n\) less than 300 for which \(\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}\) is a square number.

(5 pont)

Deadline expired on May 10, 2017.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen \(\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}=k^2\), ekkor \(\displaystyle n(n+1)=2k^2\).

\(\displaystyle n\) és \(\displaystyle n+1\) közül az egyik páros (a másik pedig páratlan).

Ha \(\displaystyle n\) páros, akkor legyen \(\displaystyle n=2m\). Ekkor \(\displaystyle 2m\cdot(2m+1)=2k^2\), vagyis \(\displaystyle m\cdot(2m+1)=k^2\). Mivel \(\displaystyle m\)-nek és \(\displaystyle 2m+1\)-nek nem lehet közös osztója, azért mindkettőnek négyzetszámnak kell lennie.

Ha \(\displaystyle n+1\) páros, akkor legyen \(\displaystyle n+1=2m\). Ekkor \(\displaystyle (2m-1)\cdot 2m=2k^2\), vagyis \(\displaystyle (2m-1)\cdot m=k^2\). \(\displaystyle m\)-nek és \(\displaystyle 2m-1\)-nek nem lehet közös osztója, ezért itt is mindkettőnek négyzetszámnak kell lennie.

Legyen \(\displaystyle m=a^2\), ekkor vagy \(\displaystyle n=2m=2a^2\) és \(\displaystyle 2a^2+1\) is négyzetszám, vagy \(\displaystyle n+1=2m=2a^2\) és \(\displaystyle 2a^2-1\) is négyzetszám.

Az \(\displaystyle n=0\) megoldás. Legyen \(\displaystyle 0<n<300\), így \(\displaystyle 0<2a^2≤300\), vagyis keressük azokat a \(\displaystyle 0<a≤12\) pozitív egész számokat, melyekre \(\displaystyle 2a^2+1\) vagy \(\displaystyle 2a^2-1\) is négyzetszám.

Öt ilyen számot találtunk:

\(\displaystyle a=0\), ekkor \(\displaystyle n=0\) és \(\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}=\frac{0\cdot1}{2}=0=0^2\);

\(\displaystyle a=1\), ekkor \(\displaystyle n=1\) és \(\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}=\frac{1\cdot2}{2}=1=1^2\);

\(\displaystyle a=2\), ekkor \(\displaystyle n=8\) és \(\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}=\frac{8\cdot9}{2}=36=6^2\);

\(\displaystyle a=5\), ekkor \(\displaystyle n=49\) és \(\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}=\frac{49\cdot50}{2}=1225=35^2\);

\(\displaystyle a=12\), ekkor \(\displaystyle n=288\) és \(\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}=\frac{288\cdot 289}{2}=41616=204^2\).


Statistics:

101 students sent a solution.
5 points:Acs Imre, Almási Adél Csilla, Andó Viola, Balog 518 Lóránd, Baski Bence, Böcskei Balázs, Bukor Benedek, Csóka Zoárd, Debreczeni Tibor, Dékány Barnabás, Dobák Dániel, Forczek Bianka, Füredi Erik Benjámin, Hegyi Benedek, Hervay Bence, Jánosdeák Márk, Kertész Ferenc, Koleszár Domonkos, Kolláth István Tibor, Kószó Máté József, Kovács 161 Márton Soma, Kovács 439 Boldizsár, Lapu Kolos, Markó Anna Erzsébet, Markó Gábor, Mészáros 916 Márton, Mikulás Zsófia, Misik Márton, Molnár 410 István, Nagy Csaba Jenő, Németh 728 Ágnes Sára, Németh Ábel, Nyitrai Boglárka, Országh Anna, Pálvölgyi Szilveszter, Pinke Andrea, Pinke Jakab Zoltán, Rusvai Miklós, Sebe Anna, Stomfai Gergely, Varga 294 Ákos, Vida Tamás, Virág Levente, Weisz Máté, Williams Hajna.
4 points:22 students.
3 points:8 students.
2 points:9 students.
1 point:15 students.
0 point:2 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2017