Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem C. 1416. (April 2017)

C. 1416. How many position vectors of length 10 are there for which three times the \(\displaystyle x\) coordinate is greater than four times the \(\displaystyle y\) coordinate, and at least one coordinate is an integer?

(5 pont)

Deadline expired on May 10, 2017.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Tudjuk, hogy \(\displaystyle 3x>4y\), vagyis \(\displaystyle y<\frac34 x\), tehát az egységvektorok végpontjai az origó középpontú 10 sugarú kör \(\displaystyle y=\frac34 x\) egyenes alatti félkörén vannak.

A helyvektorok legalább egyik koordinátája egész szám. Állítsunk merőleges egyeneseket az \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) tengelyekre a [-10;10] intervallumok egész pontjaiban.

A négy szélső egyenes egy-egy pontban érinti, a többi egyenes két-két pontban metszi a kört. A teljes körre nézve és mindkét tengelyt figyelembe véve ez \(\displaystyle 2\cdot(1+19\cdot2+1)=80\) pontot jelentene, azonban ezek között vannak olyan pontok, melyeknek \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) koordinátája is egész szám.

Ilyenek a kör és a koordináta tengelyek metszéspontjai: (-10;0), (10;0), (0;10), (0;-10), és még nyolc egész koordinátájú pont: (6;8),(8;6),(-6;8),(-8;6),(-6;-8),(-8;-6),(6;-8),(8;-6). Ez a 12 pont kétszer szerepel a fenti összegben, így egyszer le kell vonni őket.

A megmaradó \(\displaystyle 80-12=68\) pontból le kell vonni az \(\displaystyle y=\frac34 x\) egyenesen lévő két pontot: (8;6),(-8,-6).

A megmaradó 66 pontnak a fele van az \(\displaystyle y=\frac34 x\) egyenes alatt, ami 33 pontot jelent.

Tehát 33 helyvektor felel meg a feladat feltételeinek.


Statistics:

118 students sent a solution.
5 points:Acs Imre, Agócs Katinka, Almási Adél Csilla, Argay Zsolt, Balog 518 Lóránd, Bartha Ákos, Baski Bence, Bukor Benedek, Cseh Dániel, Csóti Balázs , Debreczeni Tibor, Dékány Barnabás, Dobák Dániel, Édes Lili, Füredi Erik Benjámin, Hervay Bence, Jánosdeák Márk, Kassai Levente, Kis 999 Alexandra, Klučka Vivien, Kocsis Júlia, Kószó Máté József, Kovács 161 Márton Soma, Markó Anna Erzsébet, Markó Gábor, Mikulás Zsófia, Molnár 410 István, Nagy Olivér, Nyitrai Boglárka, Pálvölgyi Szilveszter, Pinke Andrea, Surján Anett, Szalay Gergő, Szécsi Adél Lilla, Szőnyi Laura, Tanács Viktória, Tatai Mihály, Török 512 Ábel, Varga 294 Ákos, Virág Levente, Vlaszov Artúr, Weisz Máté.
4 points:35 students.
3 points:18 students.
2 points:14 students.
1 point:3 students.
0 point:6 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2017