KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 1417. Solve the simultaneous equations

\(\displaystyle a + b = c + d,\)

\(\displaystyle \frac 1a + \frac 1b = \frac 1c + \frac 1d.\)

(Proposed by Á. Kertész)

(5 points)

Deadline expired on 10 May 2017.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. A második egyenletben hozzuk közös nevezőre a törteket mindkét oldalon:

\(\displaystyle \frac{a+b}{ab}=\frac{c+d}{cd}.\)

Mivel \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\), \(\displaystyle d\) egyike sem lehet nulla, így \(\displaystyle ab≠0\) és \(\displaystyle cd≠0\).

1. eset: \(\displaystyle a+b=c+d=0\), ekkor \(\displaystyle a=-b\) és \(\displaystyle c=-d\). Ez a megoldás mindkét egyenletet kielégíti:

\(\displaystyle -b+b=-d+d,\)

\(\displaystyle \frac{1}{-b}+\frac{1}{b}=\frac{1}{-d}+\frac1d.\)

2. eset: \(\displaystyle a+b=c+d≠0\). Ekkor

\(\displaystyle \frac{ab}{cd}=\frac{a+b}{c+d}=1,\)

\(\displaystyle ab=cd,\)

\(\displaystyle a=\frac{cd}{b}.\)

Ezt az első egyenletbe behelyettesítve:

\(\displaystyle \frac{cd}{b}+b=c+d,\)

\(\displaystyle cd+b^2=bc+bd,\)

\(\displaystyle cd-bd=bc-b^2,\)

\(\displaystyle d(c-b)=b(c-b).\)

2.1 eset: \(\displaystyle c-b=0\), vagyis \(\displaystyle c=b\). Ekkor az első egyenlet miatt \(\displaystyle a=d\). Ez a megoldás mindkét egyenletet kielégíti.

2.2 eset: \(\displaystyle c-b≠0\), így \(\displaystyle d=b\). Ekkor az első egyenlet miatt \(\displaystyle a=c\). Ez a megoldás is kielégíti mindkét egyenletet.


Statistics on problem C. 1417.
142 students sent a solution.
5 points:Agócs Katinka, Ajtai Boglárka, Argay Zsolt, Bukor Benedek, Dékány Barnabás, Dobák Dániel, Dózsa Ferenc, Füredi Erik Benjámin, Hervay Bence, Kassai Levente, Kis 999 Alexandra, Klučka Vivien, Kocsis Júlia, Kószó Máté József, Markó Anna Erzsébet, Markó Gábor, Mikulás Zsófia, Molnár 410 István, Nagy Csaba Jenő, Nagy Olivér, Nyitrai Boglárka, Pálvölgyi Szilveszter, Pinke Jakab Zoltán, Pszota Máté, Sebe Anna, Surján Anett, Szilágyi Éva, Vida Tamás, Weisz Máté, Williams Hajna, Zsombó István.
4 points:34 students.
3 points:22 students.
2 points:21 students.
1 point:13 students.
0 point:16 students.
Unfair, not evaluated:4 solutions.
Unfair, not evaluated:1 solution.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, April 2017

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley