Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem C. 1417. (April 2017)

C. 1417. Solve the simultaneous equations

\(\displaystyle a + b = c + d,\)

\(\displaystyle \frac 1a + \frac 1b = \frac 1c + \frac 1d.\)

(Proposed by Á. Kertész)

(5 pont)

Deadline expired on May 10, 2017.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A második egyenletben hozzuk közös nevezőre a törteket mindkét oldalon:

\(\displaystyle \frac{a+b}{ab}=\frac{c+d}{cd}.\)

Mivel \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\), \(\displaystyle d\) egyike sem lehet nulla, így \(\displaystyle ab≠0\) és \(\displaystyle cd≠0\).

1. eset: \(\displaystyle a+b=c+d=0\), ekkor \(\displaystyle a=-b\) és \(\displaystyle c=-d\). Ez a megoldás mindkét egyenletet kielégíti:

\(\displaystyle -b+b=-d+d,\)

\(\displaystyle \frac{1}{-b}+\frac{1}{b}=\frac{1}{-d}+\frac1d.\)

2. eset: \(\displaystyle a+b=c+d≠0\). Ekkor

\(\displaystyle \frac{ab}{cd}=\frac{a+b}{c+d}=1,\)

\(\displaystyle ab=cd,\)

\(\displaystyle a=\frac{cd}{b}.\)

Ezt az első egyenletbe behelyettesítve:

\(\displaystyle \frac{cd}{b}+b=c+d,\)

\(\displaystyle cd+b^2=bc+bd,\)

\(\displaystyle cd-bd=bc-b^2,\)

\(\displaystyle d(c-b)=b(c-b).\)

2.1 eset: \(\displaystyle c-b=0\), vagyis \(\displaystyle c=b\). Ekkor az első egyenlet miatt \(\displaystyle a=d\). Ez a megoldás mindkét egyenletet kielégíti.

2.2 eset: \(\displaystyle c-b≠0\), így \(\displaystyle d=b\). Ekkor az első egyenlet miatt \(\displaystyle a=c\). Ez a megoldás is kielégíti mindkét egyenletet.


Statistics:

141 students sent a solution.
5 points:Agócs Katinka, Ajtai Boglárka, Argay Zsolt, Bukor Benedek, Dékány Barnabás, Dobák Dániel, Dózsa Ferenc, Füredi Erik Benjámin, Hervay Bence, Kassai Levente, Kis 999 Alexandra, Klučka Vivien, Kocsis Júlia, Kószó Máté József, Markó Anna Erzsébet, Markó Gábor, Mikulás Zsófia, Molnár 410 István, Nagy Csaba Jenő, Nagy Olivér, Nyitrai Boglárka, Pálvölgyi Szilveszter, Pinke Jakab Zoltán, Pszota Máté, Sebe Anna, Surján Anett, Szilágyi Éva, Vida Tamás, Weisz Máté, Williams Hajna, Zsombó István.
4 points:34 students.
3 points:22 students.
2 points:21 students.
1 point:13 students.
0 point:16 students.
Unfair, not evaluated:4 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2017