KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

KöMaL Füzetek 1: Tálalási javaslatok matematika felvételire

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 1418. Six consecutive integers are found to have the following interesting property: the sum of the six numbers is a prime, and the sum of their squares is also a prime. Find all sets of six numbers with this property.

(5 points)

This problem is for grade 11 - 12 students only.

Deadline expired on 10 May 2017.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Jelölje az első számot \(\displaystyle a\), így az egymás követő hat egész szám összege:

\(\displaystyle a+a+1+a+2+a+3+a+4+a+5=6a+15.\)

Ez egyenlő egy \(\displaystyle p\) prímszámmal:

\(\displaystyle 6a+15=p.\)

A baloldali összegből kiemelhetünk hármat:

\(\displaystyle 3(2a+5)=p.\)

Ebből következik, hogy \(\displaystyle p\) osztható 3-mal. Az egyetlen 3-mal osztható prímszám a 3, tehát \(\displaystyle 2a+5=1\), amiből \(\displaystyle a=-2\).

Tehát pontosan akkor lesz 6 egymás követő egész szám összege prím, ha ez a 6 szám a \(\displaystyle -2\), \(\displaystyle -1\), \(\displaystyle 0\), \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 3\). Írjuk fel ennek a 6 számnak a négyzetösszegét, hogy ellenőrizzük, ez is prímszámot ad-e:

\(\displaystyle (-2)^2+(-1)^2+0^2+1^2+2^2+3^2=19.\)

A 19 is prímszám, tehát a \(\displaystyle -2\), \(\displaystyle -1\), \(\displaystyle 0\), \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 3\) számok kielégítik a feladat feltételeit, és ez az egyetlen ilyen tulajdonságokkal rendelkező számhatos.

Mácz Andrea (Szekszárdi Garay János Gimn., 12.évf.) dolgozata alapján


Statistics on problem C. 1418.
41 students sent a solution.
5 points:Agócs Katinka, Bukovenszki Réka, Bunda Boldizsár, Édes Lili, Kádár Bálint, Kassai Levente, Kis 999 Alexandra, Kocsis Ábel, Kocsis Júlia, Mácz Andrea, Magyar 257 Boglárka, Nagy Enikő, Nagy Olivér, Németh Csilla Márta, Pszota Máté, Rittgasszer Ákos, Simon Ákos, Surján Anett, Szalay Gergő, Szécsi Adél Lilla, Szilágyi Éva, Takács 666 Réka, Tanács Viktória, Thuróczy Mylan, Török Boldizsár, Zsombó István.
4 points:Czakó Dorina, Kovács 526 Tamás, Perényi Gellért, Sipos Fanni Emma, Szőnyi Laura, Tatai Mihály, Wolff Vilmos.
3 points:4 students.
1 point:1 student.
0 point:2 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, April 2017

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley