KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 1420. (May 2017)

C. 1420. A circle is centred at the centroid of a regular triangle of unit side. The total length of the part of the circumference of the triangle inside the circle equals the total length of the part outside. What is the radius of the circle?

(5 pont)

Deadline expired on June 12, 2017.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Használjuk az ábra jelöléseit. Mivel a kör középpontja a háromszög \(\displaystyle S\) súlypontja, így a háromszög súlyvonalai a kör és a háromszög közös szimmetriatengelyei.

A \(\displaystyle DE\), \(\displaystyle FG\) és \(\displaystyle HI\) ívek páronként egymás tükörképei, ezért egyenlők. Mivel együtt a kör kerületének felét adják ki, így összesen \(\displaystyle 180°\) középponti szög tartozik hozzájuk, vagyis egyenként \(\displaystyle 60°\).

Ugyanez igaz az \(\displaystyle EF\), \(\displaystyle GH\), \(\displaystyle ID\) ívekre is.

Ezért a \(\displaystyle DES\), \(\displaystyle EFS\), ..., \(\displaystyle IDS\) szabályos háromszögek, mert két oldaluk \(\displaystyle r\) hosszú, a közbezárt szög pedig \(\displaystyle 60°\). Tehát \(\displaystyle ID=DE=EF=r\).

Az \(\displaystyle ADI\) és \(\displaystyle EBF\) háromszögek is szabályosak, mert a szimmetria miatt \(\displaystyle AD=AI\), \(\displaystyle BE=BF\), valamint az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) csúcsoknál lévő szög \(\displaystyle 60°\).

Ezért \(\displaystyle ID=AD=DE=EB=EF=r\), vagyis \(\displaystyle AB=AD+DE+EB=3r=1\), tehát \(\displaystyle r=\frac13\).


Statistics:

94 students sent a solution.
5 points:Acs Imre, Andó Viola, Balog 518 Lóránd, Baski Bence, Böcskei Balázs, Bukor Benedek, Csécsi Marcell, Debreczeni Tibor, Dékány Barnabás, Dobák Dániel, Gálffy Veronika, Hámori Janka, Harmath Eszter, Hervay Bence, Horváth 999 Anikó, Jankovits András, Kalabay László, Kertész Ferenc, Kószó Máté József, Makovsky Mihály, Markó Anna Erzsébet, Markó Gábor, Mészáros 916 Márton, Molnár 410 István, Nagy 09 Bernadett, Nagy Csaba Jenő, Németh Ábel, Országh Anna, Pálvölgyi Szilveszter, Sebe Anna, Varga 294 Ákos, Vida Tamás, Weisz Máté, Williams Hajna.
4 points:29 students.
3 points:12 students.
2 points:9 students.
0 point:10 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley