Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem C. 1421. (May 2017)

C. 1421. Prove that if \(\displaystyle n\in \mathbb{N}^+\) then there exist \(\displaystyle a,b\in \mathbb{N}^+\) such that \(\displaystyle a^2+b^2=13^n\).

Based on a problem by F. Olosz, Szatmárnémeti

(5 pont)

Deadline expired on June 12, 2017.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen \(\displaystyle n=1\). Ekkor \(\displaystyle 13^1=4+9=2^2+3^2\), ami igaz és megfelel a feladat feltételeinek.

Legyen \(\displaystyle n=2\). Ekkor \(\displaystyle 13^2=25+144=5^2+12^2\) , ami szintén igaz és megfelel a feladatnak feltételeinek.

Legyen \(\displaystyle n=2k+1\), ahol \(\displaystyle k\) egy pozitív egész szám. Ekkor \(\displaystyle 13^{2k+1}\)-et kell felírni \(\displaystyle a^2+b^2\) alakban:

\(\displaystyle 13^{2k+1}=13^{2k}\cdot 13=13^{2k}\cdot(2^2+3^2)= 2^2\cdot13^{2k}+3^2\cdot13^{2k}=(2\cdot13^k)^2+(3\cdot13^k)^2.\)

Itt \(\displaystyle 2\cdot13^k=a\), \(\displaystyle 3\cdot13^k=b\) és \(\displaystyle n=2k+1\).

Tehát \(\displaystyle 13^n\) felírható \(\displaystyle a^2+b^2\) alakban minden páratlan \(\displaystyle n\) esetén.

Legyen most \(\displaystyle n=2k+2\), ahol \(\displaystyle k\) egy pozitív egész szám. Ekkor a \(\displaystyle 13^{2k+2}\)-t kell felírni \(\displaystyle a^2+b^2\) alakban:

\(\displaystyle 13^{2k+2}=13^{2k}\cdot 13^2=13^{2k}\cdot(5^2+12^2)= 5^2\cdot13^{2k}+12^2\cdot13^{2k}=(5\cdot13^k)^2+(12\cdot13^k)^2.\)

Itt \(\displaystyle 5\cdot13^k=a\), \(\displaystyle 12\cdot13^k=b\) és \(\displaystyle n=2k+2\).

Tehát \(\displaystyle 13^n\) felírható \(\displaystyle a^2+b^2\) alakban minden páros \(\displaystyle n\) esetén is, vagyis minden \(\displaystyle n∈N^+\) esetén igaz az állítás.

Bukor Benedek (Révkomárom, Selye János Gimn., 10.évf.)


Statistics:

64 students sent a solution.
5 points:57 students.
3 points:1 student.
1 point:1 student.
0 point:3 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2017