A C. 1421. feladat (2017. május)

C. 1421. Bizonyítsuk be, hogy bármely \(\displaystyle n\in \mathbb{N}^+\) esetén léteznek olyan \(\displaystyle a,b\in \mathbb{N}^+\) számok, melyekre \(\displaystyle a^2+b^2=13^n\) fennáll.

Olosz Ferenc (Szatmárnémeti) feladata alapján

(5 pont)

A beküldési határidő 2017. június 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen \(\displaystyle n=1\). Ekkor \(\displaystyle 13^1=4+9=2^2+3^2\), ami igaz és megfelel a feladat feltételeinek.

Legyen \(\displaystyle n=2\). Ekkor \(\displaystyle 13^2=25+144=5^2+12^2\) , ami szintén igaz és megfelel a feladatnak feltételeinek.

Legyen \(\displaystyle n=2k+1\), ahol \(\displaystyle k\) egy pozitív egész szám. Ekkor \(\displaystyle 13^{2k+1}\)-et kell felírni \(\displaystyle a^2+b^2\) alakban:

\(\displaystyle 13^{2k+1}=13^{2k}\cdot 13=13^{2k}\cdot(2^2+3^2)= 2^2\cdot13^{2k}+3^2\cdot13^{2k}=(2\cdot13^k)^2+(3\cdot13^k)^2.\)

Itt \(\displaystyle 2\cdot13^k=a\), \(\displaystyle 3\cdot13^k=b\) és \(\displaystyle n=2k+1\).

Tehát \(\displaystyle 13^n\) felírható \(\displaystyle a^2+b^2\) alakban minden páratlan \(\displaystyle n\) esetén.

Legyen most \(\displaystyle n=2k+2\), ahol \(\displaystyle k\) egy pozitív egész szám. Ekkor a \(\displaystyle 13^{2k+2}\)-t kell felírni \(\displaystyle a^2+b^2\) alakban:

\(\displaystyle 13^{2k+2}=13^{2k}\cdot 13^2=13^{2k}\cdot(5^2+12^2)= 5^2\cdot13^{2k}+12^2\cdot13^{2k}=(5\cdot13^k)^2+(12\cdot13^k)^2.\)

Itt \(\displaystyle 5\cdot13^k=a\), \(\displaystyle 12\cdot13^k=b\) és \(\displaystyle n=2k+2\).

Tehát \(\displaystyle 13^n\) felírható \(\displaystyle a^2+b^2\) alakban minden páros \(\displaystyle n\) esetén is, vagyis minden \(\displaystyle n∈N^+\) esetén igaz az állítás.

Bukor Benedek (Révkomárom, Selye János Gimn., 10.évf.)

Statisztika:

64 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	57 versenyző.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2017. májusi matematika feladatai