KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 1423. (May 2017)

C. 1423. Given five different circles in the plane such that any four have a point in common, prove that there is a point that lies on all the circles.

(5 pont)

Deadline expired on 12 June 2017.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Mivel a körök közül bármelyik négynek van közös pontja, ezért bármelyik kettőnek is van. Mivel különbözőek, ezért bármely kettőnek egy vagy két közös pontja van. Jelölje a köröket \(\displaystyle k_1\), \(\displaystyle k_2\), \(\displaystyle k_3\), \(\displaystyle k_4\) és \(\displaystyle k_5\). A feltétel szerint van közös pontja a \(\displaystyle k_1\), \(\displaystyle k_2\), \(\displaystyle k_3\), \(\displaystyle k_4\); a \(\displaystyle k_1\), \(\displaystyle k_2\), \(\displaystyle k_3\), \(\displaystyle k_5\); illetve a \(\displaystyle k_1\), \(\displaystyle k_2\), \(\displaystyle k_4\), \(\displaystyle k_5\) köröknek. Mivel a \(\displaystyle k_1\) és a \(\displaystyle k_2\) kör mind a három körnégyesben szerepel, ezért ezek közül a közös pontok közül kettő biztosan megegyezik, ez viszont azt jelenti, hogy valamelyik két pontnégyesnek a fentiek közül ugyanaz a közös pontja van, így ezen a ponton mind az öt kör áthalad.


Statistics:

78 students sent a solution.
5 points:58 students.
4 points:10 students.
3 points:7 students.
2 points:1 student.
1 point:2 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley