Problem C. 1423. (May 2017)

C. 1423. Given five different circles in the plane such that any four have a point in common, prove that there is a point that lies on all the circles.

(5 pont)

Deadline expired on June 12, 2017.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Mivel a körök közül bármelyik négynek van közös pontja, ezért bármelyik kettőnek is van. Mivel különbözőek, ezért bármely kettőnek egy vagy két közös pontja van. Jelölje a köröket \(\displaystyle k_1\), \(\displaystyle k_2\), \(\displaystyle k_3\), \(\displaystyle k_4\) és \(\displaystyle k_5\). A feltétel szerint van közös pontja a \(\displaystyle k_1\), \(\displaystyle k_2\), \(\displaystyle k_3\), \(\displaystyle k_4\); a \(\displaystyle k_1\), \(\displaystyle k_2\), \(\displaystyle k_3\), \(\displaystyle k_5\); illetve a \(\displaystyle k_1\), \(\displaystyle k_2\), \(\displaystyle k_4\), \(\displaystyle k_5\) köröknek. Mivel a \(\displaystyle k_1\) és a \(\displaystyle k_2\) kör mind a három körnégyesben szerepel, ezért ezek közül a közös pontok közül kettő biztosan megegyezik, ez viszont azt jelenti, hogy valamelyik két pontnégyesnek a fentiek közül ugyanaz a közös pontja van, így ezen a ponton mind az öt kör áthalad.

Statistics:

78 students sent a solution.
5 points:	58 students.
4 points:	10 students.
3 points:	7 students.
2 points:	1 student.
1 point:	2 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2017