KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 1423. Given five different circles in the plane such that any four have a point in common, prove that there is a point that lies on all the circles.

(5 points)

Deadline expired on 12 June 2017.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Mivel a körök közül bármelyik négynek van közös pontja, ezért bármelyik kettőnek is van. Mivel különbözőek, ezért bármely kettőnek egy vagy két közös pontja van. Jelölje a köröket \(\displaystyle k_1\), \(\displaystyle k_2\), \(\displaystyle k_3\), \(\displaystyle k_4\) és \(\displaystyle k_5\). A feltétel szerint van közös pontja a \(\displaystyle k_1\), \(\displaystyle k_2\), \(\displaystyle k_3\), \(\displaystyle k_4\); a \(\displaystyle k_1\), \(\displaystyle k_2\), \(\displaystyle k_3\), \(\displaystyle k_5\); illetve a \(\displaystyle k_1\), \(\displaystyle k_2\), \(\displaystyle k_4\), \(\displaystyle k_5\) köröknek. Mivel a \(\displaystyle k_1\) és a \(\displaystyle k_2\) kör mind a három körnégyesben szerepel, ezért ezek közül a közös pontok közül kettő biztosan megegyezik, ez viszont azt jelenti, hogy valamelyik két pontnégyesnek a fentiek közül ugyanaz a közös pontja van, így ezen a ponton mind az öt kör áthalad.


Statistics on problem C. 1423.
78 students sent a solution.
5 points:58 students.
4 points:10 students.
3 points:7 students.
2 points:1 student.
1 point:2 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, May 2017

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley