Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem C. 1424. (May 2017)

C. 1424. What is the smallest positive value in the range of the function \(\displaystyle x\mapsto \frac{16x^2-96x+153}{x-3}\)?

(5 pont)

Deadline expired on June 12, 2017.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Alakítsuk a számlálót teljes négyzetté:

\(\displaystyle \frac{16x^2-96x+153}{x-3}=\frac{16(x-3)^2+9}{x-3}.\)

A függvény legkisebb pozitív értékét keressük. A számláló mindig pozitív, a tört értéke akkor lesz pozitív, ha a nevezője is pozitív, így feltehetjük, hogy \(\displaystyle x>3\).

Tagonként leosztva a nevezővel:

\(\displaystyle \frac{16(x-3)^2+9}{x-3}=16(x-3)+\frac{9}{x-3}.\)

Ennek a függvénynek a minimumát keressük, ha \(\displaystyle x>3\).

Mindkét tag pozitív, így alkalmazhatjuk a számtani és mértani középre vonatkozó egyenlőtlenséget:

\(\displaystyle \frac12\left(16(x-3)+\frac{9}{x-3}\right)≥\sqrt{16(x-3)\cdot\frac{9}{x-3}}=\sqrt{16\cdot9}=12.\)

Vagyis \(\displaystyle \frac{16(x-3)^2+9}{x-3}≥24\).

Az egyenlőség akkor áll fenn, ha \(\displaystyle 16(x-3)=\frac{9}{x-3}=12\), amiből \(\displaystyle x=3,75\).

Tehát a függvény legkisebb pozitív értéke 24, amit \(\displaystyle x=3,75\)-nél vesz fel.


Statistics:

100 students sent a solution.
5 points:76 students.
4 points:9 students.
3 points:2 students.
2 points:4 students.
1 point:7 students.
0 point:2 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2017