Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem C. 1424. (May 2017)

C. 1424. What is the smallest positive value in the range of the function \(\displaystyle x\mapsto \frac{16x^2-96x+153}{x-3}\)?

(5 pont)

Deadline expired on June 12, 2017.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Alakítsuk a számlálót teljes négyzetté:

\(\displaystyle \frac{16x^2-96x+153}{x-3}=\frac{16(x-3)^2+9}{x-3}.\)

A függvény legkisebb pozitív értékét keressük. A számláló mindig pozitív, a tört értéke akkor lesz pozitív, ha a nevezője is pozitív, így feltehetjük, hogy \(\displaystyle x>3\).

Tagonként leosztva a nevezővel:

\(\displaystyle \frac{16(x-3)^2+9}{x-3}=16(x-3)+\frac{9}{x-3}.\)

Ennek a függvénynek a minimumát keressük, ha \(\displaystyle x>3\).

Mindkét tag pozitív, így alkalmazhatjuk a számtani és mértani középre vonatkozó egyenlőtlenséget:

\(\displaystyle \frac12\left(16(x-3)+\frac{9}{x-3}\right)≥\sqrt{16(x-3)\cdot\frac{9}{x-3}}=\sqrt{16\cdot9}=12.\)

Vagyis \(\displaystyle \frac{16(x-3)^2+9}{x-3}≥24\).

Az egyenlőség akkor áll fenn, ha \(\displaystyle 16(x-3)=\frac{9}{x-3}=12\), amiből \(\displaystyle x=3,75\).

Tehát a függvény legkisebb pozitív értéke 24, amit \(\displaystyle x=3,75\)-nél vesz fel.


Statistics:

100 students sent a solution.
5 points:76 students.
4 points:9 students.
3 points:2 students.
2 points:4 students.
1 point:7 students.
0 point:2 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2017