KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

KöMaL Füzetek 1: Tálalási javaslatok matematika felvételire

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 1425. Triangle \(\displaystyle ABC\) is right-angled at \(\displaystyle C\), and its Fermat point (see https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_point) is \(\displaystyle I\). Given that \(\displaystyle IC=12\) mm and \(\displaystyle IB=16\) mm, find the length of the line segment \(\displaystyle IA\).

(5 points)

This problem is for grade 11 - 12 students only.

Deadline expired on 12 June 2017.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Mivel a háromszög derékszögű, így nem lehet \(\displaystyle 120°\)-nál nagyobb szöge, ezért az izogonális pontból mindhárom oldal \(\displaystyle 120°\)-os szögben látszik: \(\displaystyle AIB∡=BIC∡=AIC∡=120°\).

Legyen \(\displaystyle IA=x\). Alkalmazzuk a koszinusz tételt a részháromszögekre, felhasználva, hogy \(\displaystyle \cos 120°=-\frac12\).

\(\displaystyle BC^2=16^2+12^2-2\cdot16\cdot12\cdot-\frac12=592,\)

\(\displaystyle AC^2=12^2+x^2-2\cdot12\cdot x\cdot-\frac12=x^2+12x+144,\)

\(\displaystyle AB^2=16^2+x^2-2\cdot16\cdot x\cdot-\frac12=x^2+16x+256.\)

Alkalmazzuk az ABC háromszögre a Pitagorasz-tételt:

\(\displaystyle AB^2=BC^2+AC^2.\)

A koszinusz tételekből kapott eredményeket behelyettesítve:

\(\displaystyle x^2+16x+256=592+x^2+12x+144.\)

Ezt rendezve \(\displaystyle 4x=480\), amiből \(\displaystyle x=120\). Tehát \(\displaystyle IA=120\) mm hosszú.


Statistics on problem C. 1425.
22 students sent a solution.
5 points:Agócs Katinka, Édes Lili, Kocsis Ábel, Kocsis Júlia, Magyar 257 Boglárka, Nagy Olivér, Németh Csilla Márta, Perényi Gellért, Pszota Máté, Rittgasszer Ákos, Sipos Fanni Emma, Surján Anett, Szalay Gergő, Szécsi Adél Lilla, Szilágyi Éva, Szőnyi Laura, Tatai Mihály, Thuróczy Mylan, Wolff Vilmos, Zsombó István.
4 points:Mácz Andrea.
0 point:1 student.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, May 2017

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley