KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 1426. The equation

\(\displaystyle x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0 \)

has four real solutions, and its coefficients (in this order) form an arithmetic sequence of positive integers. Prove that the roots cannot all be integers.

Proposed by Á. Kertész

(5 points)

This problem is for grade 11 - 12 students only.

Deadline expired on 12 June 2017.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Az egyenlet együtthatói: \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\), \(\displaystyle d\), ebben a sorrendben számtani sorozatot alkotnak. Legyen a sorozat különbsége \(\displaystyle k\).

Ekkor az együtthatók: \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle a=k+1\), \(\displaystyle b=2k+1\), \(\displaystyle c=3k+1\), \(\displaystyle d=4k+1\). Így az egyenlet: \(\displaystyle x^4+(k+1)\cdot x^3+(2k+1)\cdot x^2+(3k+1)\cdot x+4k+1=0\).

A konstans tag \(\displaystyle 4k+1\) páratlan, ez csak akkor lehet, ha minden gyök páratlan, hiszen ez a gyökök szorzata.

Legyenek a pozitív, páratlan gyökök: \(\displaystyle p_1\), \(\displaystyle p_2\), \(\displaystyle p_3\), \(\displaystyle p_4\). Ekkor a gyöktényezős alak: \(\displaystyle (x-p_1)\cdot(x-p_2)\cdot(x-p_3)\cdot(x-p_4)\).

Elvégezve a szorzásokat:

\(\displaystyle x^4-(p_1+p_2+p_3 +p_4 )\cdot x^3+(p_1 p_2+p_1 p_3+p_1 p_4+p_2 p_3+p_2 p_4+p_3 p_4 )\cdot x^2+\cdots.\)

Ekkor a másodfokú tag együtthatója 6 darab páratlanszor páratlan kettősszorzat összege, tehát páros. Az egyenletben viszont \(\displaystyle 2k+1\) az együttható, ami páratlan szám.

Ellentmondásra jutottunk. Tehát nem lehet minden gyök egész.


Statistics on problem C. 1426.
13 students sent a solution.
5 points:Agócs Katinka, Kocsis Júlia, Nagy Olivér, Németh Csilla Márta, Rittgasszer Ákos, Szilágyi Éva, Wolff Vilmos, Zsombó István.
4 points:Surján Anett, Szécsi Adél Lilla.
3 points:2 students.
2 points:1 student.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, May 2017

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley