Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem C. 1426. (May 2017)

C. 1426. The equation

\(\displaystyle x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0 \)

has four real solutions, and its coefficients (in this order) form an arithmetic sequence of positive integers. Prove that the roots cannot all be integers.

Proposed by Á. Kertész

(5 pont)

Deadline expired on June 12, 2017.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az egyenlet együtthatói: \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\), \(\displaystyle d\), ebben a sorrendben számtani sorozatot alkotnak. Legyen a sorozat különbsége \(\displaystyle k\).

Ekkor az együtthatók: \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle a=k+1\), \(\displaystyle b=2k+1\), \(\displaystyle c=3k+1\), \(\displaystyle d=4k+1\). Így az egyenlet: \(\displaystyle x^4+(k+1)\cdot x^3+(2k+1)\cdot x^2+(3k+1)\cdot x+4k+1=0\).

A konstans tag \(\displaystyle 4k+1\) páratlan, ez csak akkor lehet, ha minden gyök páratlan, hiszen ez a gyökök szorzata.

Legyenek a pozitív, páratlan gyökök: \(\displaystyle p_1\), \(\displaystyle p_2\), \(\displaystyle p_3\), \(\displaystyle p_4\). Ekkor a gyöktényezős alak: \(\displaystyle (x-p_1)\cdot(x-p_2)\cdot(x-p_3)\cdot(x-p_4)\).

Elvégezve a szorzásokat:

\(\displaystyle x^4-(p_1+p_2+p_3 +p_4 )\cdot x^3+(p_1 p_2+p_1 p_3+p_1 p_4+p_2 p_3+p_2 p_4+p_3 p_4 )\cdot x^2+\cdots.\)

Ekkor a másodfokú tag együtthatója 6 darab páratlanszor páratlan kettősszorzat összege, tehát páros. Az egyenletben viszont \(\displaystyle 2k+1\) az együttható, ami páratlan szám.

Ellentmondásra jutottunk. Tehát nem lehet minden gyök egész.


Statistics:

13 students sent a solution.
5 points:Agócs Katinka, Kocsis Júlia, Nagy Olivér, Németh Csilla Márta, Rittgasszer Ákos, Szilágyi Éva, Wolff Vilmos, Zsombó István.
4 points:Surján Anett, Szécsi Adél Lilla.
3 points:2 students.
2 points:1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2017