Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem C. 800. (March 2005)

C. 800. Find those positive integers that are 14 times larger than the sum of their decimal digits.

(5 pont)

Deadline expired on April 15, 2005.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A keresett pozitív egész szám nem lehet négyjegyű, hiszen ekkor értéke legalább 1000, míg számjegyösszegének 14-szerese legfeljebb 14(9+9+9+9)=504. Ugyanígy nyilván többjegyű sem lehet.

De az egyjegyűek sem jöhetnek szóba, mivel ott fordított reláció áll fenn a szám nagysága és számjegyösszegének 14-szerese között.

Ha a szám kétjegyű, akkor \overline{ab}=10a+b=14(a+b). Átrendezve a 0=4a+13b összefüggést kapjuk, ami az a és b számjegyekre nem teljesülhet. Tehát ha van ilyen pozitív egész, akkor az csak háromjegyű lehet.

Legyen a keresett szám \overline{abc} alakú. Ekkor 100a+10b+c=14(a+b+c), ami egyenértékű a 86a=4b+13c egyenlettel. Ebből látszik, hogy c csak páros lehet, így a jobboldal maximális értéke: 4.9+13.8=140 lehet, vagyis az a nem lehet nagyobb 1-nél. Tehát a értéke csak 1 lehet. Ekkor a megoldandó egyenlet: 86=4b+13c. Csökkenthetjük a próbálkozások számát, ha figyelembe vesszük, hogy 86 páros, de 4-gyel nem osztható, a 4b nyilván osztható 4-gyel, így a 13c-nek is 4-gyel nem osztható páros számnak kell lennie. Ezzel c értékére már csak két lehetőség maradt: 2 vagy 6.

Ha c=2, akkor 86=4b+26, b=15, ami nem lehet.

Ha c=6, akkor 86=4b+78, b=2, ez már minden szempontból megfelel.

A keresett pozitív egész szám tehát egyedül a 126 lehet, ami jó is, hiszen valóban 14(1+2+6)=126.


Statistics:

214 students sent a solution.
5 points:182 students.
4 points:3 students.
3 points:17 students.
2 points:1 student.
1 point:3 students.
0 point:6 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2005