KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Conditions
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years

 

 

Order KöMaL!

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Competitions Portal

C. 800. Find those positive integers that are 14 times larger than the sum of their decimal digits.

(5 points)

Deadline expired.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. A keresett pozitív egész szám nem lehet négyjegyű, hiszen ekkor értéke legalább 1000, míg számjegyösszegének 14-szerese legfeljebb 14(9+9+9+9)=504. Ugyanígy nyilván többjegyű sem lehet.

De az egyjegyűek sem jöhetnek szóba, mivel ott fordított reláció áll fenn a szám nagysága és számjegyösszegének 14-szerese között.

Ha a szám kétjegyű, akkor \overline{ab}=10a+b=14(a+b). Átrendezve a 0=4a+13b összefüggést kapjuk, ami az a és b számjegyekre nem teljesülhet. Tehát ha van ilyen pozitív egész, akkor az csak háromjegyű lehet.

Legyen a keresett szám \overline{abc} alakú. Ekkor 100a+10b+c=14(a+b+c), ami egyenértékű a 86a=4b+13c egyenlettel. Ebből látszik, hogy c csak páros lehet, így a jobboldal maximális értéke: 4.9+13.8=140 lehet, vagyis az a nem lehet nagyobb 1-nél. Tehát a értéke csak 1 lehet. Ekkor a megoldandó egyenlet: 86=4b+13c. Csökkenthetjük a próbálkozások számát, ha figyelembe vesszük, hogy 86 páros, de 4-gyel nem osztható, a 4b nyilván osztható 4-gyel, így a 13c-nek is 4-gyel nem osztható páros számnak kell lennie. Ezzel c értékére már csak két lehetőség maradt: 2 vagy 6.

Ha c=2, akkor 86=4b+26, b=15, ami nem lehet.

Ha c=6, akkor 86=4b+78, b=2, ez már minden szempontból megfelel.

A keresett pozitív egész szám tehát egyedül a 126 lehet, ami jó is, hiszen valóban 14(1+2+6)=126.


Statistics on problem C. 800.
214 students sent a solution.
5 points:182 students.
4 points:3 students.
3 points:17 students.
2 points:1 student.
1 point:3 students.
0 point:6 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, March 2005

  • Our web pages are supported by: Ericsson   Google   SzerencsejátĂ©k Zrt.   Emberi ErĹ‘források MinisztĂ©riuma   Emberi ErĹ‘forrás TámogatáskezelĹ‘   OktatáskutatĂł Ă©s FejlesztĹ‘ IntĂ©zet   ELTE   Nemzeti TehetsĂ©g Program