KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 801. (March 2005)

C. 801. There is a rectangle inscribed in the pythagorean triangle whose sides are 3, 4, 5 units long, respectively. The vertices of the rectangle are incident to the sides of the triangle and the ratio of its perpendicular sides is 1:3. Determine the dimensions of the rectangle.

(5 pont)

Deadline expired on 15 April 2005.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A téglalapot többféleképpen elhelyezhetjük a háromszögben. Legegyszerűbb eset az, amikor a téglalap oldalai párhuzamosak a háromszög befogóival:

A háromszög csúcsai A, B és C. AC=4, BC=3, AB=5 egység. A téglalap csúcsai C, D, E és F az ábra szerint. Az ABC és AEF derékszögű háromszögek hasonlóságából az első esetben \frac{4-3x}{4}= \frac{x}{3}, és innen 12-9x=4x, x=\frac{12}{13} és 3x=\frac{36}{13}.

A második esetben \frac{4-x}{x}= \frac{3x}{3}; x=\frac{4}{5} és 3x=\frac{12}{5}.

A másik lehetőség ez elhelyezésre, amikor a téglalap egyik oldala merőleges az átfogóra:

A keletkezett derékszögű háromszögek mind hasonlók egymáshoz, mert megfelelő szögeik egyenlők. Az első esetben: \frac{v}{x}= \frac{5}{3}, v=\frac{5}{3}\,x; \frac{4-v}{3x}=\frac{4}{5}, 4-v= \frac{12}{5}\,x; ezért \frac{5}{3}\, x+\frac{12}{5}\, x=4, innen x=\frac{60}{61},
3x=\frac{180}{61}. A második esetben: \frac{v}{3x}= \frac{5}{3}, v=5\,x; \frac{4-v}{4}=\frac{x}{5}, 4-v= \frac{4}{5}\,x; ezért 5\, x+\frac{4}{5}\, x=4, innen x=\frac{20}{29}, 3x=\frac{60}{29}.


Statistics:

>
225 students sent a solution.
5 points:87 students.
4 points:73 students.
3 points:29 students.
2 points:24 students.
1 point:4 students.
0 point:2 students.
Unfair, not evaluated:6 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley