KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Conditions
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years

 

 

Order KöMaL!

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Competitions Portal

C. 801. There is a rectangle inscribed in the pythagorean triangle whose sides are 3, 4, 5 units long, respectively. The vertices of the rectangle are incident to the sides of the triangle and the ratio of its perpendicular sides is 1:3. Determine the dimensions of the rectangle.

(5 points)

Deadline expired.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. A téglalapot többféleképpen elhelyezhetjük a háromszögben. Legegyszerűbb eset az, amikor a téglalap oldalai párhuzamosak a háromszög befogóival:

A háromszög csúcsai A, B és C. AC=4, BC=3, AB=5 egység. A téglalap csúcsai C, D, E és F az ábra szerint. Az ABC és AEF derékszögű háromszögek hasonlóságából az első esetben \frac{4-3x}{4}= \frac{x}{3}, és innen 12-9x=4x, x=\frac{12}{13} és 3x=\frac{36}{13}.

A második esetben \frac{4-x}{x}= \frac{3x}{3}; x=\frac{4}{5} és 3x=\frac{12}{5}.

A másik lehetőség ez elhelyezésre, amikor a téglalap egyik oldala merőleges az átfogóra:

A keletkezett derékszögű háromszögek mind hasonlók egymáshoz, mert megfelelő szögeik egyenlők. Az első esetben: \frac{v}{x}= \frac{5}{3}, v=\frac{5}{3}\,x; \frac{4-v}{3x}=\frac{4}{5}, 4-v= \frac{12}{5}\,x; ezért \frac{5}{3}\, x+\frac{12}{5}\, x=4, innen x=\frac{60}{61},
3x=\frac{180}{61}. A második esetben: \frac{v}{3x}= \frac{5}{3}, v=5\,x; \frac{4-v}{4}=\frac{x}{5}, 4-v= \frac{4}{5}\,x; ezért 5\, x+\frac{4}{5}\, x=4, innen x=\frac{20}{29}, 3x=\frac{60}{29}.


Statistics on problem C. 801.
225 students sent a solution.
5 points:87 students.
4 points:73 students.
3 points:29 students.
2 points:24 students.
1 point:4 students.
0 point:2 students.
Unfair, not evaluated:6 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, March 2005

  • Our web pages are supported by: Ericsson   Google   SzerencsejátĂ©k Zrt.   Emberi ErĹ‘források MinisztĂ©riuma   Emberi ErĹ‘forrás TámogatáskezelĹ‘   OktatáskutatĂł Ă©s FejlesztĹ‘ IntĂ©zet   ELTE   Nemzeti TehetsĂ©g Program