Problem C. 804.

Order KöMaL!

ELTE

Competitions Portal

C. 804. The first term of a geometric progression is 6, the sum of the first n terms is $\frac{45}{4}$ and the sum of the reciprocals of the same terms is equal to $\frac{5}{2}$ . Find this geometric progression.

(5 points)

Deadline expired.

Sorry, the solution is published in Hungarian only.

Megoldás. A mértani sorozat első eleme a₁=6. A sorozat hányadosa nem lehet 1, hiszen akkor az első n elemének összege: ${45\over4}=6n$ , azaz $n={45\over24}$ lenne, ami nem egész. Az ismert képlet szerint: $S_n=a_1{q^n-1\over q-1}$ , azaz

$6{q^n-1\over q-1}={45\over4}.$

Rendezzük az egyenletet:

(1)	$q^n-1={15\over8}(q-1).$

A reciprok sorozatra:

${1\over6}{({1\over q})^n-1\over{1\over q}-1}={5\over2}.$

Végezzük el a kijelölt műveleteket. Rendezés után kapjuk, hogy

(2)	qⁿ-1=15(qⁿ-q^n-1).

Helyettesítsük (2)-be az (1)-ből (qⁿ-1)-re kapott kifejezést:

${15\over8}(q-1)=15(q^n-q^{n-1})=15q^{n-1}(q-1).$

Osztva a 15(q-1) $\neq$ 0-val: ${1\over8}=q^{n-1}$ , innen $q^n={1\over8}q$ . Ezt (1)-be beírva kapjuk, hogy ${1\over8}q-1={15\over8}(q-1)$ , ahonnan $q={1\over2}$ és $({1\over2})^n={1\over16}$ -ból n=4.

Az első sorozat elemei: 6, 3, ${3\over2}$ és ${3\over4}$ ; ezek összege valóban ${45\over4}$ .

A második sorozat elemei: ${1\over6}$ , ${1\over3}$ , ${2\over3}$ és ${4\over3}$ és ${1\over6}+{1\over3}+{2\over3}+{4\over3}={15\over6}={5\over2}.$

Statistics on problem C. 804.

171 students sent a solution.

5 points: 62 students.

4 points: 65 students.

3 points: 30 students.

2 points: 3 students.

1 point: 3 students.

0 point: 6 students.

Unfair, not evaluated: 2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2005

Our web pages are supported by:

ELTE