KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Conditions
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years

 

 

Order KöMaL!

tehetseg.hu

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Competitions Portal

C. 804. The first term of a geometric progression is 6, the sum of the first n terms is \frac{45}{4} and the sum of the reciprocals of the same terms is equal to \frac{5}{2}. Find this geometric progression.

(5 points)

Deadline expired on 15 April 2005.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. A mértani sorozat első eleme a1=6. A sorozat hányadosa nem lehet 1, hiszen akkor az első n elemének összege: {45\over4}=6n, azaz n={45\over24} lenne, ami nem egész. Az ismert képlet szerint: S_n=a_1{q^n-1\over q-1}, azaz

6{q^n-1\over q-1}={45\over4}.

Rendezzük az egyenletet:

(1)q^n-1={15\over8}(q-1).

A reciprok sorozatra:

{1\over6}{({1\over q})^n-1\over{1\over q}-1}={5\over2}.

Végezzük el a kijelölt műveleteket. Rendezés után kapjuk, hogy

(2)qn-1=15(qn-qn-1).

Helyettesítsük (2)-be az (1)-ből (qn-1)-re kapott kifejezést:

{15\over8}(q-1)=15(q^n-q^{n-1})=15q^{n-1}(q-1).

Osztva a 15(q-1)\neq0-val: {1\over8}=q^{n-1}, innen q^n={1\over8}q. Ezt (1)-be beírva kapjuk, hogy {1\over8}q-1={15\over8}(q-1), ahonnan q={1\over2} és ({1\over2})^n={1\over16}-ból n=4.

Az első sorozat elemei: 6, 3, {3\over2} és {3\over4}; ezek összege valóban {45\over4}.

A második sorozat elemei: {1\over6}, {1\over3}, {2\over3} és {4\over3} és {1\over6}+{1\over3}+{2\over3}+{4\over3}={15\over6}={5\over2}.


Statistics on problem C. 804.
171 students sent a solution.
5 points:62 students.
4 points:65 students.
3 points:30 students.
2 points:3 students.
1 point:3 students.
0 point:6 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, March 2005

  • Our web pages are supported by: Ericsson   Google   SzerencsejátĂ©k Zrt.   Emberi ErĹ‘források MinisztĂ©riuma   Emberi ErĹ‘forrás TámogatáskezelĹ‘   OktatáskutatĂł Ă©s FejlesztĹ‘ IntĂ©zet   ELTE   Nemzeti TehetsĂ©g Program