Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem C. 804. (March 2005)

C. 804. The first term of a geometric progression is 6, the sum of the first n terms is \frac{45}{4} and the sum of the reciprocals of the same terms is equal to \frac{5}{2}. Find this geometric progression.

(5 pont)

Deadline expired on April 15, 2005.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A mértani sorozat első eleme a1=6. A sorozat hányadosa nem lehet 1, hiszen akkor az első n elemének összege: {45\over4}=6n, azaz n={45\over24} lenne, ami nem egész. Az ismert képlet szerint: S_n=a_1{q^n-1\over q-1}, azaz

6{q^n-1\over q-1}={45\over4}.

Rendezzük az egyenletet:

(1)q^n-1={15\over8}(q-1).

A reciprok sorozatra:

{1\over6}{({1\over q})^n-1\over{1\over q}-1}={5\over2}.

Végezzük el a kijelölt műveleteket. Rendezés után kapjuk, hogy

(2)qn-1=15(qn-qn-1).

Helyettesítsük (2)-be az (1)-ből (qn-1)-re kapott kifejezést:

{15\over8}(q-1)=15(q^n-q^{n-1})=15q^{n-1}(q-1).

Osztva a 15(q-1)\neq0-val: {1\over8}=q^{n-1}, innen q^n={1\over8}q. Ezt (1)-be beírva kapjuk, hogy {1\over8}q-1={15\over8}(q-1), ahonnan q={1\over2} és ({1\over2})^n={1\over16}-ból n=4.

Az első sorozat elemei: 6, 3, {3\over2} és {3\over4}; ezek összege valóban {45\over4}.

A második sorozat elemei: {1\over6}, {1\over3}, {2\over3} és {4\over3} és {1\over6}+{1\over3}+{2\over3}+{4\over3}={15\over6}={5\over2}.


Statistics:

171 students sent a solution.
5 points:62 students.
4 points:65 students.
3 points:30 students.
2 points:3 students.
1 point:3 students.
0 point:6 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2005