Problem C. 804. (March 2005)
C. 804. The first term of a geometric progression is 6, the sum of the first n terms is and the sum of the reciprocals of the same terms is equal to . Find this geometric progression.
(5 pont)
Deadline expired on April 15, 2005.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A mértani sorozat első eleme a1=6. A sorozat hányadosa nem lehet 1, hiszen akkor az első n elemének összege: , azaz lenne, ami nem egész. Az ismert képlet szerint: , azaz
Rendezzük az egyenletet:
(1) |
A reciprok sorozatra:
Végezzük el a kijelölt műveleteket. Rendezés után kapjuk, hogy
(2) | qn-1=15(qn-qn-1). |
Helyettesítsük (2)-be az (1)-ből (qn-1)-re kapott kifejezést:
Osztva a 15(q-1)0-val: , innen . Ezt (1)-be beírva kapjuk, hogy , ahonnan és -ból n=4.
Az első sorozat elemei: 6, 3, és ; ezek összege valóban .
A második sorozat elemei: , , és és
Statistics:
171 students sent a solution. 5 points: 62 students. 4 points: 65 students. 3 points: 30 students. 2 points: 3 students. 1 point: 3 students. 0 point: 6 students. Unfair, not evaluated: 2 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, March 2005