Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 804. feladat (2005. március)

C. 804. Egy mértani sorozat első eleme 6, az első n elem összege \frac{45}{4}, ugyanezen elemek reciprokainak összege \frac{5}{2}. Melyik ez a mértani sorozat?

(5 pont)

A beküldési határidő 2005. április 15-én LEJÁRT.


Megoldás. A mértani sorozat első eleme a1=6. A sorozat hányadosa nem lehet 1, hiszen akkor az első n elemének összege: {45\over4}=6n, azaz n={45\over24} lenne, ami nem egész. Az ismert képlet szerint: S_n=a_1{q^n-1\over q-1}, azaz

6{q^n-1\over q-1}={45\over4}.

Rendezzük az egyenletet:

(1)q^n-1={15\over8}(q-1).

A reciprok sorozatra:

{1\over6}{({1\over q})^n-1\over{1\over q}-1}={5\over2}.

Végezzük el a kijelölt műveleteket. Rendezés után kapjuk, hogy

(2)qn-1=15(qn-qn-1).

Helyettesítsük (2)-be az (1)-ből (qn-1)-re kapott kifejezést:

{15\over8}(q-1)=15(q^n-q^{n-1})=15q^{n-1}(q-1).

Osztva a 15(q-1)\neq0-val: {1\over8}=q^{n-1}, innen q^n={1\over8}q. Ezt (1)-be beírva kapjuk, hogy {1\over8}q-1={15\over8}(q-1), ahonnan q={1\over2} és ({1\over2})^n={1\over16}-ból n=4.

Az első sorozat elemei: 6, 3, {3\over2} és {3\over4}; ezek összege valóban {45\over4}.

A második sorozat elemei: {1\over6}, {1\over3}, {2\over3} és {4\over3} és {1\over6}+{1\over3}+{2\over3}+{4\over3}={15\over6}={5\over2}.


Statisztika:

171 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:62 versenyző.
4 pontot kapott:65 versenyző.
3 pontot kapott:30 versenyző.
2 pontot kapott:3 versenyző.
1 pontot kapott:3 versenyző.
0 pontot kapott:6 versenyző.
Nem versenyszerű:2 dolgozat.

A KöMaL 2005. márciusi matematika feladatai