KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

 

apehman

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 807. The lengths of two adjacent sides of a quadrilateral are 2 units and 1 unit, and they enclose an angle of 60o. The quadrilateral is cyclic and it is also a tangent quadrilateral. What are the lengths of the other two sides?

(5 points)

Deadline expired on 17 May 2005.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Legyen ABCD a keresett négyszög.

Az ABC háromszögre írjuk fel a koszinusz tételt.

AC2=12+22-2.1.2cos 60o.

Innen AC2=3, és így AC=\sqrt3. Mivel a négyszög húrnégyszög, azért ADC szöge 120o-os. Jelölje az oldalakat AD=y, DC=x. Mivel a négyszög érintőnégyszög is, azért 1+x=2+y és innen y=x-1.

Írjuk fel az ADC háromszögre is a koszinusz tételt: 3=x2+y2+xy, az y=x-1 helyettesítéssel 3=x2+(x-1)2+x(x-1). Innen 3x2-3x-2=0, és így x_1={3+\sqrt{33}\over6}\approx1,4574, x_2={3-\sqrt{33}\over6}<0. Tehát csak egy megoldás van: x=1,4574, y=1,4574-1=0,4574.


Statistics on problem C. 807.
167 students sent a solution.
5 points:146 students.
4 points:2 students.
3 points:2 students.
2 points:2 students.
1 point:9 students.
0 point:6 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, April 2005

  • Támogatóink:   Ericsson   Google   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma  
    Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet   Nemzeti Tehetség Program     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley