KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 807. (April 2005)

C. 807. The lengths of two adjacent sides of a quadrilateral are 2 units and 1 unit, and they enclose an angle of 60o. The quadrilateral is cyclic and it is also a tangent quadrilateral. What are the lengths of the other two sides?

(5 pont)

Deadline expired on 17 May 2005.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen ABCD a keresett négyszög.

Az ABC háromszögre írjuk fel a koszinusz tételt.

AC2=12+22-2.1.2cos 60o.

Innen AC2=3, és így AC=\sqrt3. Mivel a négyszög húrnégyszög, azért ADC szöge 120o-os. Jelölje az oldalakat AD=y, DC=x. Mivel a négyszög érintőnégyszög is, azért 1+x=2+y és innen y=x-1.

Írjuk fel az ADC háromszögre is a koszinusz tételt: 3=x2+y2+xy, az y=x-1 helyettesítéssel 3=x2+(x-1)2+x(x-1). Innen 3x2-3x-2=0, és így x_1={3+\sqrt{33}\over6}\approx1,4574, x_2={3-\sqrt{33}\over6}<0. Tehát csak egy megoldás van: x=1,4574, y=1,4574-1=0,4574.


Statistics:

167 students sent a solution.
5 points:146 students.
4 points:2 students.
3 points:2 students.
2 points:2 students.
1 point:9 students.
0 point:6 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley