KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Conditions
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years

 

 

Order KöMaL!

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Competitions Portal

C. 807. The lengths of two adjacent sides of a quadrilateral are 2 units and 1 unit, and they enclose an angle of 60o. The quadrilateral is cyclic and it is also a tangent quadrilateral. What are the lengths of the other two sides?

(5 points)

Deadline expired.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Legyen ABCD a keresett négyszög.

Az ABC háromszögre írjuk fel a koszinusz tételt.

AC2=12+22-2.1.2cos 60o.

Innen AC2=3, és így AC=\sqrt3. Mivel a négyszög húrnégyszög, azért ADC szöge 120o-os. Jelölje az oldalakat AD=y, DC=x. Mivel a négyszög érintőnégyszög is, azért 1+x=2+y és innen y=x-1.

Írjuk fel az ADC háromszögre is a koszinusz tételt: 3=x2+y2+xy, az y=x-1 helyettesítéssel 3=x2+(x-1)2+x(x-1). Innen 3x2-3x-2=0, és így x_1={3+\sqrt{33}\over6}\approx1,4574, x_2={3-\sqrt{33}\over6}<0. Tehát csak egy megoldás van: x=1,4574, y=1,4574-1=0,4574.


Statistics on problem C. 807.
167 students sent a solution.
5 points:146 students.
4 points:2 students.
3 points:2 students.
2 points:2 students.
1 point:9 students.
0 point:6 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, April 2005

  • Our web pages are supported by: Ericsson   Google   SzerencsejátĂ©k Zrt.   Emberi ErĹ‘források MinisztĂ©riuma   Emberi ErĹ‘forrás TámogatáskezelĹ‘   OktatáskutatĂł Ă©s FejlesztĹ‘ IntĂ©zet   ELTE   Nemzeti TehetsĂ©g Program