A C. 807. feladat (2005. április)

C. 807. Egy négyszög két szomszédos oldalának hossza 2, illetve 1 egység, közrezárt szögük 60^o. A négyszög húr- és érintőnégyszög is egyben. Mekkora a négyszög másik két oldala?

(5 pont)

A beküldési határidő 2005. május 17-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen ABCD a keresett négyszög.

Az ABC háromszögre írjuk fel a koszinusz tételt.

AC²=1²+2²-2^.1^.2cos 60^o.

Innen AC²=3, és így . Mivel a négyszög húrnégyszög, azért ADC szöge 120^o-os. Jelölje az oldalakat AD=y, DC=x. Mivel a négyszög érintőnégyszög is, azért 1+x=2+y és innen y=x-1.

Írjuk fel az ADC háromszögre is a koszinusz tételt: 3=x²+y²+xy, az y=x-1 helyettesítéssel 3=x²+(x-1)²+x(x-1). Innen 3x²-3x-2=0, és így , . Tehát csak egy megoldás van: x=1,4574, y=1,4574-1=0,4574.

Statisztika:

167 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	146 versenyző.
4 pontot kapott:	2 versenyző.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	9 versenyző.
0 pontot kapott:	6 versenyző.

A KöMaL 2005. áprilisi matematika feladatai