KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Conditions
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years

 

 

Order KöMaL!

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Competitions Portal

C. 808. Solve the equation {3x}2+{x}2=1.

(5 points)

Deadline expired.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Mivel az {x} és {3x} függvények periodikusak (1, illetve 1/3 periódussal), ezért elég a 0\leqx<1 intervallumban vizsgálni a megoldásokat. Három esetet különböztetünk meg.

1) 0\leqx<1/3, a függvény (3x)2+x2 alakú. Ekkor a 9x2+x2=1 egyenletből x={1\over\sqrt{10}}.

2) Ha 1/3\leqx<2/3, akkor a függvény x2+(3x-1)2 alakú. Az x2+9x2-6x+1=1 egyenletből x=3/5.

3) Ha 2/3\leqx<1, akkor (3x-2)2+x2=1, innen x={6\pm\sqrt6\over10}, de a két megoldásból csak az egyik eleme az intervallumnak: x={6+\sqrt6\over10}.

Helyettesítéssel ellenőrizhetjük, hogy ezek valóban megoldásai az egyenletnek.

Az egyenletnek tehát végtelen sok megoldása van, minden egész intervallumban három:

x_1={1\over\sqrt{10}}+k; \,\,\,\,\,\,\,x_2={3\over5}+k;\,\,\,\,\,\,\, x_3={6+\sqrt6\over10}+k \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(k\in\Bbb Z).


Statistics on problem C. 808.
139 students sent a solution.
5 points:67 students.
4 points:17 students.
3 points:7 students.
2 points:28 students.
1 point:11 students.
0 point:9 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, April 2005

  • Our web pages are supported by: Ericsson   Google   SzerencsejátĂ©k Zrt.   Emberi ErĹ‘források MinisztĂ©riuma   Emberi ErĹ‘forrás TámogatáskezelĹ‘   OktatáskutatĂł Ă©s FejlesztĹ‘ IntĂ©zet   ELTE   Nemzeti TehetsĂ©g Program