KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 808. Solve the equation {3x}2+{x}2=1.

(5 points)

Deadline expired on 17 May 2005.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Mivel az {x} és {3x} függvények periodikusak (1, illetve 1/3 periódussal), ezért elég a 0\leqx<1 intervallumban vizsgálni a megoldásokat. Három esetet különböztetünk meg.

1) 0\leqx<1/3, a függvény (3x)2+x2 alakú. Ekkor a 9x2+x2=1 egyenletből x={1\over\sqrt{10}}.

2) Ha 1/3\leqx<2/3, akkor a függvény x2+(3x-1)2 alakú. Az x2+9x2-6x+1=1 egyenletből x=3/5.

3) Ha 2/3\leqx<1, akkor (3x-2)2+x2=1, innen x={6\pm\sqrt6\over10}, de a két megoldásból csak az egyik eleme az intervallumnak: x={6+\sqrt6\over10}.

Helyettesítéssel ellenőrizhetjük, hogy ezek valóban megoldásai az egyenletnek.

Az egyenletnek tehát végtelen sok megoldása van, minden egész intervallumban három:

x_1={1\over\sqrt{10}}+k; \,\,\,\,\,\,\,x_2={3\over5}+k;\,\,\,\,\,\,\, x_3={6+\sqrt6\over10}+k \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(k\in\Bbb Z).


Statistics on problem C. 808.
139 students sent a solution.
5 points:67 students.
4 points:17 students.
3 points:7 students.
2 points:28 students.
1 point:11 students.
0 point:9 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, April 2005

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley