Problem C. 808.

Order KöMaL!

ELTE

Competitions Portal

C. 808. Solve the equation {3x}²+{x}²=1.

(5 points)

Deadline expired.

Sorry, the solution is published in Hungarian only.

Megoldás. Mivel az {x} és {3x} függvények periodikusak (1, illetve 1/3 periódussal), ezért elég a 0 $\leq$ x<1 intervallumban vizsgálni a megoldásokat. Három esetet különböztetünk meg.

1) 0 $\leq$ x<1/3, a függvény (3x)²+x² alakú. Ekkor a 9x²+x²=1 egyenletből $x={1\over\sqrt{10}}$ .

2) Ha 1/3 $\leq$ x<2/3, akkor a függvény x²+(3x-1)² alakú. Az x²+9x²-6x+1=1 egyenletből x=3/5.

3) Ha 2/3 $\leq$ x<1, akkor (3x-2)²+x²=1, innen $x={6\pm\sqrt6\over10}$ , de a két megoldásból csak az egyik eleme az intervallumnak: $x={6+\sqrt6\over10}$ .

Helyettesítéssel ellenőrizhetjük, hogy ezek valóban megoldásai az egyenletnek.

Az egyenletnek tehát végtelen sok megoldása van, minden egész intervallumban három:

$x_1={1\over\sqrt{10}}+k; \,\,\,\,\,\,\,x_2={3\over5}+k;\,\,\,\,\,\,\, x_3={6+\sqrt6\over10}+k \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(k\in\Bbb Z).$

Statistics on problem C. 808.

139 students sent a solution.

5 points: 67 students.

4 points: 17 students.

3 points: 7 students.

2 points: 28 students.

1 point: 11 students.

0 point: 9 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2005

Our web pages are supported by:

ELTE