KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

Kifordítható

tetraéder

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 809. The midpoint of the edge AE of the unit cube ABCDEFGH is P, and the midpoint of the face BCGF is R.

a) Find the area of the intersection of the cube with the plane through the points P, B, R.

b) The above plane cuts the cube into two solids. What is the ratio of the volumes of the two parts?

(5 points)

Deadline expired on 17 May 2005.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Jelölje I az EH él felezőpontját. Ekkor IP \parallel GB, tehát a PBR pontokon átmenő sík megegyezik a PBGI pontokon átmenő síkkal.

a) A PBGI négyszög trapéz, BG=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2, PI=BG/2={\sqrt2\over2}, IG=PB=\sqrt{1^2+0,5^2}={\sqrt5\over2}. A trapéz magassága szintén a Pitagorasz-tétel segítségével számolható: m=\sqrt{PB^2-((BG-PI)/2)^2}=\sqrt{18/16}=\sqrt2\cdot3/4. A trapéz területe ezek alapján:

t={(\sqrt2+\sqrt2/2)\cdot\sqrt2\cdot3/4\over2}=9/8.

b) BFGIEP csonkagúla. TBFG=1/2, TIEP=1/8, a magasság 1, így a csonkagúla térfogata:

V={1\over3}\cdot\left({1\over2}+\sqrt{{1\over2}\cdot{1\over8}}+{1\over8}\right)={7\over24}.

A másik rész térfogata 1-{7\over24}={17\over24}, így a két rész térfogatának aránya {7\over17}.


Statistics on problem C. 809.
172 students sent a solution.
5 points:99 students.
4 points:21 students.
3 points:24 students.
2 points:13 students.
0 point:11 students.
Unfair, not evaluated:4 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, April 2005

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley