KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Conditions
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years

 

 

Order KöMaL!

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Competitions Portal

C. 809. The midpoint of the edge AE of the unit cube ABCDEFGH is P, and the midpoint of the face BCGF is R.

a) Find the area of the intersection of the cube with the plane through the points P, B, R.

b) The above plane cuts the cube into two solids. What is the ratio of the volumes of the two parts?

(5 points)

Deadline expired.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Jelölje I az EH él felezőpontját. Ekkor IP \parallel GB, tehát a PBR pontokon átmenő sík megegyezik a PBGI pontokon átmenő síkkal.

a) A PBGI négyszög trapéz, BG=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2, PI=BG/2={\sqrt2\over2}, IG=PB=\sqrt{1^2+0,5^2}={\sqrt5\over2}. A trapéz magassága szintén a Pitagorasz-tétel segítségével számolható: m=\sqrt{PB^2-((BG-PI)/2)^2}=\sqrt{18/16}=\sqrt2\cdot3/4. A trapéz területe ezek alapján:

t={(\sqrt2+\sqrt2/2)\cdot\sqrt2\cdot3/4\over2}=9/8.

b) BFGIEP csonkagúla. TBFG=1/2, TIEP=1/8, a magasság 1, így a csonkagúla térfogata:

V={1\over3}\cdot\left({1\over2}+\sqrt{{1\over2}\cdot{1\over8}}+{1\over8}\right)={7\over24}.

A másik rész térfogata 1-{7\over24}={17\over24}, így a két rész térfogatának aránya {7\over17}.


Statistics on problem C. 809.
172 students sent a solution.
5 points:99 students.
4 points:21 students.
3 points:24 students.
2 points:13 students.
0 point:11 students.
Unfair, not evaluated:4 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, April 2005

  • Our web pages are supported by: Ericsson   Google   SzerencsejátĂ©k Zrt.   Emberi ErĹ‘források MinisztĂ©riuma   Emberi ErĹ‘forrás TámogatáskezelĹ‘   OktatáskutatĂł Ă©s FejlesztĹ‘ IntĂ©zet   ELTE   Nemzeti TehetsĂ©g Program