KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 809. (April 2005)

C. 809. The midpoint of the edge AE of the unit cube ABCDEFGH is P, and the midpoint of the face BCGF is R.

a) Find the area of the intersection of the cube with the plane through the points P, B, R.

b) The above plane cuts the cube into two solids. What is the ratio of the volumes of the two parts?

(5 pont)

Deadline expired on 17 May 2005.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelölje I az EH él felezőpontját. Ekkor IP \parallel GB, tehát a PBR pontokon átmenő sík megegyezik a PBGI pontokon átmenő síkkal.

a) A PBGI négyszög trapéz, BG=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2, PI=BG/2={\sqrt2\over2}, IG=PB=\sqrt{1^2+0,5^2}={\sqrt5\over2}. A trapéz magassága szintén a Pitagorasz-tétel segítségével számolható: m=\sqrt{PB^2-((BG-PI)/2)^2}=\sqrt{18/16}=\sqrt2\cdot3/4. A trapéz területe ezek alapján:

t={(\sqrt2+\sqrt2/2)\cdot\sqrt2\cdot3/4\over2}=9/8.

b) BFGIEP csonkagúla. TBFG=1/2, TIEP=1/8, a magasság 1, így a csonkagúla térfogata:

V={1\over3}\cdot\left({1\over2}+\sqrt{{1\over2}\cdot{1\over8}}+{1\over8}\right)={7\over24}.

A másik rész térfogata 1-{7\over24}={17\over24}, így a két rész térfogatának aránya {7\over17}.


Statistics:

>
172 students sent a solution.
5 points:99 students.
4 points:21 students.
3 points:24 students.
2 points:13 students.
0 point:11 students.
Unfair, not evaluated:4 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley