KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 813. (May 2005)

C. 813. One side of a rectangle is 10 cm long. How long is the other side if a 10 cm x1 cm rectangle can be just placed in it in a diagonal position?

(5 pont)

Deadline expired on 15 June 2005.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az ábrán körívvel jelölt egyenlő (hegyes)szögeket jelölje \alpha. Ekkor AP=sin \alpha, PB=10cos \alpha, ezért

10=AP+PB=sin \alpha+10cos \alpha.

A kapott egyenlet mindkét oldalát osszuk el \sqrt{101}-gyel, ekkor


\frac{10}{\sqrt{101}} = \frac{1}{\sqrt{101}}\sin\alpha +
\frac{10}{\sqrt{101}}\cos\alpha .

Jelölje \beta azt a hegyesszöget, amelyre \cos\beta = \frac{1}{\sqrt{101}} és \sin\beta = \frac{10}{\sqrt{101}}. Így

sin \beta=cos \betasin \alpha+sin \betacos \alpha=sin (\alpha+\beta).

Mivel 0<\beta<\alpha+\beta<\pi, az egyenlet csak úgy teljesülhet, ha \beta+(\alpha+\beta)=\pi, azaz \alpha=\pi-2\beta. Ezzel a téglalap másik oldala

b=cos \alpha+10sin \alpha=-cos 2\beta+10sin 2\beta=-(2cos2\beta-1)+10.2sin \betacos \beta=

=-(2\frac{1}{101}
- 1) + 20 \cdot \frac{10}{\sqrt{101}} \cdot \frac{1}{\sqrt{101}} =
\frac{299}{101} \approx 2.96.


Statistics:

128 students sent a solution.
5 points:67 students.
4 points:26 students.
3 points:13 students.
2 points:9 students.
1 point:3 students.
0 point:10 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley