KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Conditions
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years

 

 

Order KöMaL!

tehetseg.hu

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Competitions Portal

C. 813. One side of a rectangle is 10 cm long. How long is the other side if a 10 cm x1 cm rectangle can be just placed in it in a diagonal position?

(5 points)

Deadline expired on 15 June 2005.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Az ábrán körívvel jelölt egyenlő (hegyes)szögeket jelölje \alpha. Ekkor AP=sin \alpha, PB=10cos \alpha, ezért

10=AP+PB=sin \alpha+10cos \alpha.

A kapott egyenlet mindkét oldalát osszuk el \sqrt{101}-gyel, ekkor


\frac{10}{\sqrt{101}} = \frac{1}{\sqrt{101}}\sin\alpha +
\frac{10}{\sqrt{101}}\cos\alpha .

Jelölje \beta azt a hegyesszöget, amelyre \cos\beta = \frac{1}{\sqrt{101}} és \sin\beta = \frac{10}{\sqrt{101}}. Így

sin \beta=cos \betasin \alpha+sin \betacos \alpha=sin (\alpha+\beta).

Mivel 0<\beta<\alpha+\beta<\pi, az egyenlet csak úgy teljesülhet, ha \beta+(\alpha+\beta)=\pi, azaz \alpha=\pi-2\beta. Ezzel a téglalap másik oldala

b=cos \alpha+10sin \alpha=-cos 2\beta+10sin 2\beta=-(2cos2\beta-1)+10.2sin \betacos \beta=

=-(2\frac{1}{101}
- 1) + 20 \cdot \frac{10}{\sqrt{101}} \cdot \frac{1}{\sqrt{101}} =
\frac{299}{101} \approx 2.96.


Statistics on problem C. 813.
128 students sent a solution.
5 points:67 students.
4 points:26 students.
3 points:13 students.
2 points:9 students.
1 point:3 students.
0 point:10 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, May 2005

  • Our web pages are supported by: Ericsson   Google   SzerencsejátĂ©k Zrt.   Emberi ErĹ‘források MinisztĂ©riuma   Emberi ErĹ‘forrás TámogatáskezelĹ‘   OktatáskutatĂł Ă©s FejlesztĹ‘ IntĂ©zet   ELTE   Nemzeti TehetsĂ©g Program