Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem C. 813. (May 2005)

C. 813. One side of a rectangle is 10 cm long. How long is the other side if a 10 cm x1 cm rectangle can be just placed in it in a diagonal position?

(5 pont)

Deadline expired on June 15, 2005.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az ábrán körívvel jelölt egyenlő (hegyes)szögeket jelölje \alpha. Ekkor AP=sin \alpha, PB=10cos \alpha, ezért

10=AP+PB=sin \alpha+10cos \alpha.

A kapott egyenlet mindkét oldalát osszuk el \sqrt{101}-gyel, ekkor


\frac{10}{\sqrt{101}} = \frac{1}{\sqrt{101}}\sin\alpha +
\frac{10}{\sqrt{101}}\cos\alpha .

Jelölje \beta azt a hegyesszöget, amelyre \cos\beta = \frac{1}{\sqrt{101}} és \sin\beta = \frac{10}{\sqrt{101}}. Így

sin \beta=cos \betasin \alpha+sin \betacos \alpha=sin (\alpha+\beta).

Mivel 0<\beta<\alpha+\beta<\pi, az egyenlet csak úgy teljesülhet, ha \beta+(\alpha+\beta)=\pi, azaz \alpha=\pi-2\beta. Ezzel a téglalap másik oldala

b=cos \alpha+10sin \alpha=-cos 2\beta+10sin 2\beta=-(2cos2\beta-1)+10.2sin \betacos \beta=

=-(2\frac{1}{101}
- 1) + 20 \cdot \frac{10}{\sqrt{101}} \cdot \frac{1}{\sqrt{101}} =
\frac{299}{101} \approx 2.96.


Statistics:

128 students sent a solution.
5 points:67 students.
4 points:26 students.
3 points:13 students.
2 points:9 students.
1 point:3 students.
0 point:10 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2005