KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

apehman

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 813. One side of a rectangle is 10 cm long. How long is the other side if a 10 cm x1 cm rectangle can be just placed in it in a diagonal position?

(5 points)

Deadline expired on 15 June 2005.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Az ábrán körívvel jelölt egyenlő (hegyes)szögeket jelölje \alpha. Ekkor AP=sin \alpha, PB=10cos \alpha, ezért

10=AP+PB=sin \alpha+10cos \alpha.

A kapott egyenlet mindkét oldalát osszuk el \sqrt{101}-gyel, ekkor


\frac{10}{\sqrt{101}} = \frac{1}{\sqrt{101}}\sin\alpha +
\frac{10}{\sqrt{101}}\cos\alpha .

Jelölje \beta azt a hegyesszöget, amelyre \cos\beta = \frac{1}{\sqrt{101}} és \sin\beta = \frac{10}{\sqrt{101}}. Így

sin \beta=cos \betasin \alpha+sin \betacos \alpha=sin (\alpha+\beta).

Mivel 0<\beta<\alpha+\beta<\pi, az egyenlet csak úgy teljesülhet, ha \beta+(\alpha+\beta)=\pi, azaz \alpha=\pi-2\beta. Ezzel a téglalap másik oldala

b=cos \alpha+10sin \alpha=-cos 2\beta+10sin 2\beta=-(2cos2\beta-1)+10.2sin \betacos \beta=

=-(2\frac{1}{101}
- 1) + 20 \cdot \frac{10}{\sqrt{101}} \cdot \frac{1}{\sqrt{101}} =
\frac{299}{101} \approx 2.96.


Statistics on problem C. 813.
128 students sent a solution.
5 points:67 students.
4 points:26 students.
3 points:13 students.
2 points:9 students.
1 point:3 students.
0 point:10 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, May 2005

  • Támogatóink:   Ericsson   Google   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program  
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley