Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 813. feladat (2005. május)

C. 813. Egy téglalap egyik oldala 10 cm hosszú. Mekkora a téglalap másik oldala, ha egy 10 cm x1 cm-es téglalap átlósan is éppen elfér benne?

(5 pont)

A beküldési határidő 2005. június 15-én LEJÁRT.


Megoldás. Az ábrán körívvel jelölt egyenlő (hegyes)szögeket jelölje \alpha. Ekkor AP=sin \alpha, PB=10cos \alpha, ezért

10=AP+PB=sin \alpha+10cos \alpha.

A kapott egyenlet mindkét oldalát osszuk el \sqrt{101}-gyel, ekkor


\frac{10}{\sqrt{101}} = \frac{1}{\sqrt{101}}\sin\alpha +
\frac{10}{\sqrt{101}}\cos\alpha .

Jelölje \beta azt a hegyesszöget, amelyre \cos\beta = \frac{1}{\sqrt{101}} és \sin\beta = \frac{10}{\sqrt{101}}. Így

sin \beta=cos \betasin \alpha+sin \betacos \alpha=sin (\alpha+\beta).

Mivel 0<\beta<\alpha+\beta<\pi, az egyenlet csak úgy teljesülhet, ha \beta+(\alpha+\beta)=\pi, azaz \alpha=\pi-2\beta. Ezzel a téglalap másik oldala

b=cos \alpha+10sin \alpha=-cos 2\beta+10sin 2\beta=-(2cos2\beta-1)+10.2sin \betacos \beta=

=-(2\frac{1}{101}
- 1) + 20 \cdot \frac{10}{\sqrt{101}} \cdot \frac{1}{\sqrt{101}} =
\frac{299}{101} \approx 2.96.


Statisztika:

128 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:67 versenyző.
4 pontot kapott:26 versenyző.
3 pontot kapott:13 versenyző.
2 pontot kapott:9 versenyző.
1 pontot kapott:3 versenyző.
0 pontot kapott:10 versenyző.

A KöMaL 2005. májusi matematika feladatai