Problem C. 817.

Order KöMaL!

ELTE

Competitions Portal

C. 817. Having calculated that 6²+8=44, Clare noticed that 66²+88=4444 was also true. Is it true for every n that $(\underbrace{6\dots6}_{n\text{ digits}}{)}^2+ \underbrace{8\dots8}_{n\text{ digits}}=\underbrace{4\dots4}_{2n\text {digits}}$ ?

(5 points)

Deadline expired.

Sorry, the solution is published in Hungarian only.

Megoldás. Azt állítjuk, hogy $(\underbrace{6\dots6}_{n~{\rm jegy}})^2+ \underbrace{8\dots8}_{n~{\rm jegy}}=\underbrace{4\dots4}_{2n~{\rm jegy}}$ minden pozitív egész n-re igaz. Bizonyítás: teljes indukcióval.

n=1-re igaz. Tételezzük fel, hogy n-re igaz. Bizonyítandó, hogy n+1-re is igaz: $(\underbrace{6\dots6}_{n+1~{\rm jegy}})^2+ \underbrace{8\dots8}_{n+1~{\rm jegy}}=\underbrace{4\dots4}_{2n+2~{\rm jegy}}$ . Legyen $a=\underbrace{1\dots1}_{n~{\rm jegy}}$ , $b=\underbrace{1\dots1}_{2n~{\rm jegy}}$ . Azt kell bizonyítani, hogy ha (6a)²+8a=4b (1), akkor 6^.(10a+1))²+8(10a+1)=4(100b+11). Kis átalakításokat végezve, majd b helyére az (1)-ből következő 9a²+2 kifejezést írva:

36^.(10a+1)²+80a+8=400b+44,

9(100a²+2a+1)+20a+2=100b+11,

900a²+200a+11=900a²+200a+11.

Ez azonosság, tehát az állítás teljesül (n+1)-re is. Vagyis minden n-re teljesül.

Statistics on problem C. 817.

528 students sent a solution.

5 points: 305 students.

4 points: 11 students.

3 points: 11 students.

2 points: 74 students.

1 point: 42 students.

0 point: 73 students.

Unfair, not evaluated: 12 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2005

Our web pages are supported by:

ELTE