KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Conditions
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years

 

 

Order KöMaL!

tehetseg.hu

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Competitions Portal

C. 817. Having calculated that 62+8=44, Clare noticed that 662+88=4444 was also true. Is it true for every n that (\underbrace{6\dots6}_{n\text{ digits}}{)}^2+
\underbrace{8\dots8}_{n\text{ digits}}=\underbrace{4\dots4}_{2n\text {digits}}?

(5 points)

Deadline expired on 17 October 2005.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Azt állítjuk, hogy (\underbrace{6\dots6}_{n~{\rm jegy}})^2+ \underbrace{8\dots8}_{n~{\rm jegy}}=\underbrace{4\dots4}_{2n~{\rm jegy}} minden pozitív egész n-re igaz. Bizonyítás: teljes indukcióval.

n=1-re igaz. Tételezzük fel, hogy n-re igaz. Bizonyítandó, hogy n+1-re is igaz: (\underbrace{6\dots6}_{n+1~{\rm jegy}})^2+ \underbrace{8\dots8}_{n+1~{\rm jegy}}=\underbrace{4\dots4}_{2n+2~{\rm jegy}}. Legyen a=\underbrace{1\dots1}_{n~{\rm jegy}}, b=\underbrace{1\dots1}_{2n~{\rm jegy}}. Azt kell bizonyítani, hogy ha (6a)2+8a=4b (1), akkor 6.(10a+1))2+8(10a+1)=4(100b+11). Kis átalakításokat végezve, majd b helyére az (1)-ből következő 9a2+2 kifejezést írva:

36.(10a+1)2+80a+8=400b+44,

9(100a2+2a+1)+20a+2=100b+11,

900a2+200a+11=900a2+200a+11.

Ez azonosság, tehát az állítás teljesül (n+1)-re is. Vagyis minden n-re teljesül.


Statistics on problem C. 817.
528 students sent a solution.
5 points:305 students.
4 points:11 students.
3 points:11 students.
2 points:74 students.
1 point:42 students.
0 point:73 students.
Unfair, not evaluated:12 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, September 2005

  • Our web pages are supported by: Ericsson   Google   SzerencsejátĂ©k Zrt.   Emberi ErĹ‘források MinisztĂ©riuma   Emberi ErĹ‘forrás TámogatáskezelĹ‘   OktatáskutatĂł Ă©s FejlesztĹ‘ IntĂ©zet   ELTE   Nemzeti TehetsĂ©g Program