Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem C. 818. (September 2005)

C. 818. A square tablecloth is layed on a round table so that their centres coincide. The areas of the circle and the square are equal. What percentage of the area of the tabletop is covered by the cloth?

(5 pont)

Deadline expired on October 17, 2005.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás:

Legyen az asztal sugara r, a terítő oldala pedig 2a. Tudjuk, hogy 8a=2r\pi, ebből a=0,25r\pi<r.

A zöld háromszögből \varphi=\hbox{\rm arccos}{a\over r}=\hbox{\rm arccos}{\pi\over4}. A lefedett terület 8 zöld háromszögből és négy piros körcikkből áll. Ezek területe együtt:

T_{lefedett}=8\cdot{a\sqrt{r^2-a^2}\over2}+r^2\pi\cdot{2\pi-8\varphi\over2\pi}=r^2\pi\sqrt{1-0,0625\pi^2}+r^2\pi\cdot{2\pi-8\phi\over2\pi}.

Az asztallap területe Ta=r2\pi, és így a keresett arány:

{T\over T_a}\approx0,7692.

Tehát az asztallap területének kb. 77%-át takarja a terítő.


Statistics:

518 students sent a solution.
5 points:213 students.
4 points:26 students.
3 points:19 students.
2 points:19 students.
1 point:11 students.
0 point:222 students.
Unfair, not evaluated:8 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2005