Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 822. feladat (2005. október)

C. 822. Legyenek x és y nem negatív valós számok. Bizonyítsuk be, hogy

\sqrt{\frac{x}2}+\sqrt{\frac y2}\le \sqrt{x+y}.

(5 pont)

A beküldési határidő 2005. november 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Négyzetre emelve, majd rendezve a \sqrt{xy}\leq{x+y\over2} egyenlőtlenséget kapjuk, ami nem más, mint a számtani és a mértani közepekre vonatkozó egyenlőtlenség x-re és y-ra. Mivel x és y nemnegatív, azért mind a kétszer ekvivalens átalakítást végeztünk, és így az eredeti egyenlőtlenséget is igazoltuk. Egyenlőség pontosan akkor van, ha x=y.

Statisztika:

595 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:209 versenyző.
4 pontot kapott:312 versenyző.
3 pontot kapott:23 versenyző.
2 pontot kapott:12 versenyző.
1 pontot kapott:9 versenyző.
0 pontot kapott:12 versenyző.
Nem versenyszerű:18 dolgozat.

A KöMaL 2005. októberi matematika feladatai