Problem C. 825. (November 2005)

C. 825. Prove that the product of four consecutive integers can always be expressed as the product of two consecutive even numbers.

(5 pont)

Deadline expired on December 15, 2005.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Legyen a négy egymást követő egész szám: a, a+1, a+2, a+3. Ezek szorzata: a(a+1)(a+2)(a+3). Az első és a negyedik tényezőt, valamint a második és a harmadik tényezőt szorozzuk össze, ekkor a következő szorzatot kapjuk: (a²+3a)(a²+3a+2). Mivel a egész szám, ezért mindkét tényező egész szám. Ha a páros szám, akkor 3a és is páros, így az összegük is páros. Ekkor a két tényező (az a²+3a és az a²+3a+2) valóban egymást követő páros szám. Ha a páratlan szám, akkor a² és 3a is páratlan, így az összegük páros. Ekkor is egymást követő páros szám a két tényező. Ezzel az állítást bebizonyítottuk.

Statistics:

499 students sent a solution.
5 points:	383 students.
4 points:	19 students.
3 points:	50 students.
2 points:	7 students.
1 point:	10 students.
0 point:	25 students.
Unfair, not evaluated:	5 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2005