Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem C. 828. (November 2005)

C. 828. Find the area of the triangle bounded by the lines


x+y=2005,\qquad \frac{x}{2005}+ \frac{y}{2006}=1,\qquad \frac{x}{2006}+ \frac{y}{2005}=1

(5 pont)

Deadline expired on December 15, 2005.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Legyen a három egyenes rendre e1, e2, e3. Az e1 egyenesnek \left(x+y=2005\right) az x, illetve y tengellyel vett metszéspontja P1(2005;0), illetve R1(0;2005). Az e2 egyenesnek \left({x\over2005}+{y\over2006}=1\right) P2(2005;0), ill. R2(0;2006). Végül az e3 egyenesnek \left({x\over2006}+{y\over2005}=1\right) P3(2006;0), ill. R3(0;2005).

e_2\cap e_3=M\left({2005\cdot2006\over4011};{2005\cdot2006\over4011}\right). A három egyenes által közrezárt háromszög az R1P2M egyenlő szárú háromszög. Ennek R1P2 oldalához tartozó magassága, m=MFR1P2, ahol FR1P2(1002,5;1002,5).

Így

m=\sqrt{2\cdot\left({2005\cdot2006\over4011}-1002,5\right)^2},

a háromszög területe pedig {1\over2}m\cdot R_1P_2={1\over2}\sqrt{2\cdot\left({2005\cdot2006\over4011}-1002,5\right)^2}\cdot\sqrt2\cdot2005=

=2005\cdot\left({2005\cdot2006\over4011}-1002,5\right)\approx501,125 területegység.


Statistics:

302 students sent a solution.
5 points:213 students.
4 points:4 students.
3 points:3 students.
2 points:13 students.
1 point:20 students.
0 point:48 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2005