Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem C. 828. (November 2005)

C. 828. Find the area of the triangle bounded by the lines


x+y=2005,\qquad \frac{x}{2005}+ \frac{y}{2006}=1,\qquad \frac{x}{2006}+ \frac{y}{2005}=1

(5 pont)

Deadline expired on December 15, 2005.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Legyen a három egyenes rendre e1, e2, e3. Az e1 egyenesnek \left(x+y=2005\right) az x, illetve y tengellyel vett metszéspontja P1(2005;0), illetve R1(0;2005). Az e2 egyenesnek \left({x\over2005}+{y\over2006}=1\right) P2(2005;0), ill. R2(0;2006). Végül az e3 egyenesnek \left({x\over2006}+{y\over2005}=1\right) P3(2006;0), ill. R3(0;2005).

e_2\cap e_3=M\left({2005\cdot2006\over4011};{2005\cdot2006\over4011}\right). A három egyenes által közrezárt háromszög az R1P2M egyenlő szárú háromszög. Ennek R1P2 oldalához tartozó magassága, m=MFR1P2, ahol FR1P2(1002,5;1002,5).

Így

m=\sqrt{2\cdot\left({2005\cdot2006\over4011}-1002,5\right)^2},

a háromszög területe pedig {1\over2}m\cdot R_1P_2={1\over2}\sqrt{2\cdot\left({2005\cdot2006\over4011}-1002,5\right)^2}\cdot\sqrt2\cdot2005=

=2005\cdot\left({2005\cdot2006\over4011}-1002,5\right)\approx501,125 területegység.


Statistics:

302 students sent a solution.
5 points:213 students.
4 points:4 students.
3 points:3 students.
2 points:13 students.
1 point:20 students.
0 point:48 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2005