Problem C. 828.

Order KöMaL!

ELTE

Competitions Portal

C. 828. Find the area of the triangle bounded by the lines

$x+y=2005,\qquad \frac{x}{2005}+ \frac{y}{2006}=1,\qquad \frac{x}{2006}+ \frac{y}{2005}=1$

(5 points)

Deadline expired.

Sorry, the solution is published in Hungarian only.

Megoldás: Legyen a három egyenes rendre e₁, e₂, e₃. Az e₁ egyenesnek $\left(x+y=2005\right)$ az x, illetve y tengellyel vett metszéspontja P₁(2005;0), illetve R₁(0;2005). Az e₂ egyenesnek $\left({x\over2005}+{y\over2006}=1\right)$ P₂(2005;0), ill. R₂(0;2006). Végül az e₃ egyenesnek $\left({x\over2006}+{y\over2005}=1\right)$ P₃(2006;0), ill. R₃(0;2005).

$e_2\cap e_3=M\left({2005\cdot2006\over4011};{2005\cdot2006\over4011}\right)$ . A három egyenes által közrezárt háromszög az R₁P₂M egyenlő szárú háromszög. Ennek R₁P₂ oldalához tartozó magassága, m=MF_R₁P₂, ahol F_R₁P₂(1002,5;1002,5).

Így

$m=\sqrt{2\cdot\left({2005\cdot2006\over4011}-1002,5\right)^2},$

a háromszög területe pedig ${1\over2}m\cdot R_1P_2={1\over2}\sqrt{2\cdot\left({2005\cdot2006\over4011}-1002,5\right)^2}\cdot\sqrt2\cdot2005=$

$=2005\cdot\left({2005\cdot2006\over4011}-1002,5\right)\approx501,125$ területegység.

Statistics on problem C. 828.

302 students sent a solution.

5 points: 213 students.

4 points: 4 students.

3 points: 3 students.

2 points: 13 students.

1 point: 20 students.

0 point: 48 students.

Unfair, not evaluated: 1 solution.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2005

Our web pages are supported by:

ELTE