KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 828. (November 2005)

C. 828. Find the area of the triangle bounded by the lines


x+y=2005,\qquad \frac{x}{2005}+ \frac{y}{2006}=1,\qquad \frac{x}{2006}+ \frac{y}{2005}=1

(5 pont)

Deadline expired on 15 December 2005.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Legyen a három egyenes rendre e1, e2, e3. Az e1 egyenesnek \left(x+y=2005\right) az x, illetve y tengellyel vett metszéspontja P1(2005;0), illetve R1(0;2005). Az e2 egyenesnek \left({x\over2005}+{y\over2006}=1\right) P2(2005;0), ill. R2(0;2006). Végül az e3 egyenesnek \left({x\over2006}+{y\over2005}=1\right) P3(2006;0), ill. R3(0;2005).

e_2\cap e_3=M\left({2005\cdot2006\over4011};{2005\cdot2006\over4011}\right). A három egyenes által közrezárt háromszög az R1P2M egyenlő szárú háromszög. Ennek R1P2 oldalához tartozó magassága, m=MFR1P2, ahol FR1P2(1002,5;1002,5).

Így

m=\sqrt{2\cdot\left({2005\cdot2006\over4011}-1002,5\right)^2},

a háromszög területe pedig {1\over2}m\cdot R_1P_2={1\over2}\sqrt{2\cdot\left({2005\cdot2006\over4011}-1002,5\right)^2}\cdot\sqrt2\cdot2005=

=2005\cdot\left({2005\cdot2006\over4011}-1002,5\right)\approx501,125 területegység.


Statistics:

>
302 students sent a solution.
5 points:213 students.
4 points:4 students.
3 points:3 students.
2 points:13 students.
1 point:20 students.
0 point:48 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley