KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

apehman

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 833. The base edges and the height of a square-based right pyramid are all 40 cm long. We want to connect one vertex of the base to the opposite vertex of the base with a line drawn on the lateral faces. What is the length of the shortest path?

(5 points)

Deadline expired on 16 January 2006.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás: A gúla oldaléle \sqrt{40^2+(20\sqrt2)^2}=\sqrt{20\sqrt6}. Ha kiterítjük (elég csak az alaplapot és két szomszédos oldallapot), akkor a palástra berajzolható a legrövidebb út (az ábrán zölddel húzott vonal).

Az oldallapokra felírva a cosinus-tételt:

402=2.202.6-2.202.6.cos \alpha,

amiből cos \alpha=2/3.

A két oldallap együtt egy deltoidot alkot, melynek területét kétféleképpen felírva ( a zöld szakasz hossza l):

2\cdot(20\sqrt6)^2\cdot\sin\alpha\cdot{1\over2}=20\sqrt6\cdot l\cdot{1\over2},

amiből \sin\alpha=\sqrt{1-4/9} felhasználásával

l={80\sqrt5\over\sqrt6}\approx73,03 \hbox{~(cm).}


Statistics on problem C. 833.
367 students sent a solution.
5 points:102 students.
4 points:92 students.
3 points:82 students.
2 points:41 students.
1 point:17 students.
0 point:15 students.
Unfair, not evaluated:18 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, December 2005

  • Támogatóink:   Ericsson   Google   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program  
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley