KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Conditions
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years

 

 

Order KöMaL!

tehetseg.hu

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Competitions Portal

C. 833. The base edges and the height of a square-based right pyramid are all 40 cm long. We want to connect one vertex of the base to the opposite vertex of the base with a line drawn on the lateral faces. What is the length of the shortest path?

(5 points)

Deadline expired on 16 January 2006.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás: A gúla oldaléle \sqrt{40^2+(20\sqrt2)^2}=\sqrt{20\sqrt6}. Ha kiterítjük (elég csak az alaplapot és két szomszédos oldallapot), akkor a palástra berajzolható a legrövidebb út (az ábrán zölddel húzott vonal).

Az oldallapokra felírva a cosinus-tételt:

402=2.202.6-2.202.6.cos \alpha,

amiből cos \alpha=2/3.

A két oldallap együtt egy deltoidot alkot, melynek területét kétféleképpen felírva ( a zöld szakasz hossza l):

2\cdot(20\sqrt6)^2\cdot\sin\alpha\cdot{1\over2}=20\sqrt6\cdot l\cdot{1\over2},

amiből \sin\alpha=\sqrt{1-4/9} felhasználásával

l={80\sqrt5\over\sqrt6}\approx73,03 \hbox{~(cm).}


Statistics on problem C. 833.
367 students sent a solution.
5 points:102 students.
4 points:92 students.
3 points:82 students.
2 points:41 students.
1 point:17 students.
0 point:15 students.
Unfair, not evaluated:18 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, December 2005

  • Our web pages are supported by: Ericsson   Google   SzerencsejátĂ©k Zrt.   Emberi ErĹ‘források MinisztĂ©riuma   Emberi ErĹ‘forrás TámogatáskezelĹ‘   OktatáskutatĂł Ă©s FejlesztĹ‘ IntĂ©zet   ELTE   Nemzeti TehetsĂ©g Program