KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 833. (December 2005)

C. 833. The base edges and the height of a square-based right pyramid are all 40 cm long. We want to connect one vertex of the base to the opposite vertex of the base with a line drawn on the lateral faces. What is the length of the shortest path?

(5 pont)

Deadline expired on 16 January 2006.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: A gúla oldaléle \sqrt{40^2+(20\sqrt2)^2}=\sqrt{20\sqrt6}. Ha kiterítjük (elég csak az alaplapot és két szomszédos oldallapot), akkor a palástra berajzolható a legrövidebb út (az ábrán zölddel húzott vonal).

Az oldallapokra felírva a cosinus-tételt:

402=2.202.6-2.202.6.cos \alpha,

amiből cos \alpha=2/3.

A két oldallap együtt egy deltoidot alkot, melynek területét kétféleképpen felírva ( a zöld szakasz hossza l):

2\cdot(20\sqrt6)^2\cdot\sin\alpha\cdot{1\over2}=20\sqrt6\cdot l\cdot{1\over2},

amiből \sin\alpha=\sqrt{1-4/9} felhasználásával

l={80\sqrt5\over\sqrt6}\approx73,03 \hbox{~(cm).}


Statistics:

>
367 students sent a solution.
5 points:102 students.
4 points:92 students.
3 points:82 students.
2 points:41 students.
1 point:17 students.
0 point:15 students.
Unfair, not evaluated:18 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley