Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem C. 833. (December 2005)

C. 833. The base edges and the height of a square-based right pyramid are all 40 cm long. We want to connect one vertex of the base to the opposite vertex of the base with a line drawn on the lateral faces. What is the length of the shortest path?

(5 pont)

Deadline expired on January 16, 2006.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: A gúla oldaléle \sqrt{40^2+(20\sqrt2)^2}=\sqrt{20\sqrt6}. Ha kiterítjük (elég csak az alaplapot és két szomszédos oldallapot), akkor a palástra berajzolható a legrövidebb út (az ábrán zölddel húzott vonal).

Az oldallapokra felírva a cosinus-tételt:

402=2.202.6-2.202.6.cos \alpha,

amiből cos \alpha=2/3.

A két oldallap együtt egy deltoidot alkot, melynek területét kétféleképpen felírva ( a zöld szakasz hossza l):

2\cdot(20\sqrt6)^2\cdot\sin\alpha\cdot{1\over2}=20\sqrt6\cdot l\cdot{1\over2},

amiből \sin\alpha=\sqrt{1-4/9} felhasználásával

l={80\sqrt5\over\sqrt6}\approx73,03 \hbox{~(cm).}


Statistics:

367 students sent a solution.
5 points:102 students.
4 points:92 students.
3 points:82 students.
2 points:41 students.
1 point:17 students.
0 point:15 students.
Unfair, not evaluated:18 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2005