KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 834. Solve the following equation:


\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{\sin2x}=\frac{2}{\sin4x}.

(5 points)

Deadline expired on 16 January 2006.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás: x nem lehet {\pi\over4} egész számú többszöröse. Felhasználva, hogy sin 2x=2sin xcos x, valamint sin 4x=2sin 2xcos 2x=4sin xcos xcos 2x:

{1\over\sin x}-{1\over2\sin x\cos x}={2\over4\sin x\cos x\cos2x},

4cos xcos 2x-2cos 2x=2,

4cos x(2cos2x-1)-2(2cos2x-1)=2,

cos x(2cos2x-cos x-1)=0.

Mivel a feltétel miatt cos x\neq0, ezért csak a szorzat második tényezője lehet 0:

2cos2x-cos x-1=0,

amiből cos x=1 vagy cos x=-1/2. Az első eset nem felel meg a feltételnek, a második esetben x_1={2\pi\over3}+2k\pi, x_2={-2\pi\over3}+2l\pi, ahol k és l egész számok.


Statistics on problem C. 834.
264 students sent a solution.
5 points:163 students.
4 points:12 students.
3 points:33 students.
2 points:9 students.
1 point:7 students.
0 point:36 students.
Unfair, not evaluated:4 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, December 2005

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley