Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem C. 843. (February 2006)

C. 843. In a triangle ABC, \angleBAC=45o. Let P denote the point of side AC for which AP:PC=1:2. Given that \angleABP=15o find \angleACB.

(5 pont)

Deadline expired on March 16, 2006.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Jelölje AC másik harmadolópontját R. Legyen S az a pont a PB szakaszon, amelyre PS=PR. APB\measuredangle=120^{\circ}, ezért SPR\measuredangle=60^{\circ}, így a PRS háromszög szabályos, tehát külső szöge, SRC\measuredangle=120^{\circ}. Ezekből következik, hogy APS\triangle\cong SRC\triangle. Innen AS=SC, RCS\measuredangle=PAS\measuredangle=30^{\circ}. Ebből SAB\measuredangle=15^{\circ}, ezért ASB\triangle egyenlő szárú, vagyis SB=SA. Emiatt CSB\triangle is egyenlő szárú, és mivel CSB\measuredangle=180^{\circ}-(60^{\circ}+30^{\circ})=90^{\circ}, ezért SCB\measuredangle=45^{\circ}. Így ACB\measuredangle=30^{\circ}+45^{\circ}=75^{\circ}.


Statistics:

235 students sent a solution.
5 points:114 students.
4 points:46 students.
3 points:15 students.
2 points:11 students.
1 point:13 students.
0 point:26 students.
Unfair, not evaluated:10 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2006