KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 853. Consider four rays in the space starting from a common point and enclose pairwise equal non-zero angles. What is that angle?

(5 points)

Deadline expired on 18 May 2006.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás: Helyezzük el a keresett félegyeneseket az O pontból kiindulva úgy, hogy mindegyik egy szabályos tetraéder csúcsát tartalmazza az ábrának megfelelően. Legyenek a tetraéder oldalai egységnyiek. A feladat megoldásához számítsuk ki a CO és OD szakaszok szögét!

Az O pont a DFcC háromszög síkjában helyezkedik el, amely felezi a tetrédert. Ebben az egyenlő szárú háromszögben DT magasság, azaz a a DTC háromszög derékszögű. A DT magasság kiszámításához írjuk fel a DFcC háromszög területét a Héron-képlettel és a DT magasság, valamint az FcC oldal felhasználásával:

\frac{DT\frac{\sqrt3}2}{2}=\sqrt{\frac{\sqrt3+1}2
(\frac{\sqrt3-1}2)\frac{1}{2}\frac{1}{2} }

ahonnan DT=\frac{\sqrt2}{\sqrt3}. A CTO és CTD derékszögű háromszögekre felírva Pitagórasz tételét kapjuk, hogy CT=\frac{1}{\sqrt3} és CD=\frac{\sqrt3}{2\sqrt2}. Ezek alapján az OCT szög 19,47o, a keresett DOC szög pedig 109,48o.


Statistics on problem C. 853.
165 students sent a solution.
5 points:Bakacsi Péter, Bencs 111 Ferenc, Blázsik Zoltán, Buza Dániel István, Csató Bertalan, Damásdi Eszter, Dóka Éva, Dormán Miklós, Éles András, Fábián Anna, Farkas Judit, Fonyó Dávid, Gévay Gábor, Gresits Iván, Helényi-Simon Viktória, Horváth Markó, Juhász 459 István, Károly Dóra, Kőszegi Balázs, Kunos Ádám, Lantos Tamás, Lorántfy Tibor, Máté 403 Balázs, Mezei Bálint, Mihálykó Ágnes, Nagy 777 Mariann, Pulai Gábor, Ridinger Tamás, Ruppert Dániel, Salamon László, Szabó 001 Réka, Szilágyi Lilla Ráchel, Varga 171 László, Varga Imre, Venczel Márton, Vida György, Werner Miklós.
4 points:14 students.
3 points:76 students.
2 points:10 students.
1 point:4 students.
0 point:24 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, April 2006

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley