KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 853. (April 2006)

C. 853. Consider four rays in the space starting from a common point and enclose pairwise equal non-zero angles. What is that angle?

(5 pont)

Deadline expired on 18 May 2006.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Helyezzük el a keresett félegyeneseket az O pontból kiindulva úgy, hogy mindegyik egy szabályos tetraéder csúcsát tartalmazza az ábrának megfelelően. Legyenek a tetraéder oldalai egységnyiek. A feladat megoldásához számítsuk ki a CO és OD szakaszok szögét!

Az O pont a DFcC háromszög síkjában helyezkedik el, amely felezi a tetrédert. Ebben az egyenlő szárú háromszögben DT magasság, azaz a a DTC háromszög derékszögű. A DT magasság kiszámításához írjuk fel a DFcC háromszög területét a Héron-képlettel és a DT magasság, valamint az FcC oldal felhasználásával:

\frac{DT\frac{\sqrt3}2}{2}=\sqrt{\frac{\sqrt3+1}2
(\frac{\sqrt3-1}2)\frac{1}{2}\frac{1}{2} }

ahonnan DT=\frac{\sqrt2}{\sqrt3}. A CTO és CTD derékszögű háromszögekre felírva Pitagórasz tételét kapjuk, hogy CT=\frac{1}{\sqrt3} és CD=\frac{\sqrt3}{2\sqrt2}. Ezek alapján az OCT szög 19,47o, a keresett DOC szög pedig 109,48o.


Statistics:

165 students sent a solution.
5 points:Bakacsi Péter, Bencs 111 Ferenc, Blázsik Zoltán, Buza Dániel István, Csató Bertalan, Damásdi Eszter, Dóka Éva, Dormán Miklós, Éles András, Fábián Anna, Farkas Judit, Fonyó Dávid, Gévay Gábor, Gresits Iván, Helényi-Simon Viktória, Horváth Markó, Juhász 459 István, Károly Dóra, Kőszegi Balázs, Kunos Ádám, Lantos Tamás, Lorántfy Tibor, Máté 403 Balázs, Mezei Bálint, Mihálykó Ágnes, Nagy 777 Mariann, Pulai Gábor, Ridinger Tamás, Ruppert Dániel, Salamon László, Szabó 001 Réka, Szilágyi Lilla Ráchel, Varga 171 László, Varga Imre, Venczel Márton, Vida György, Werner Miklós.
4 points:14 students.
3 points:76 students.
2 points:10 students.
1 point:4 students.
0 point:24 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley