Problem C. 854.

Order KöMaL!

ELTE

Competitions Portal

C. 854. Prove that the following equality is true for every positive integer n:

$\frac{1^3+3^3+5^3+\ldots+ {(2n-1)}^3}{1+3+5+\ldots+(2n-1)}= 2n^2-1.$

(5 points)

Deadline expired.

Sorry, the solution is published in Hungarian only.

Megoldás: Teljes indukcióval bizonyítunk. Ha n=1, akkor igaz az állítás. Tegyük föl, hogy n=k-ra igaz (vagyis ${1^3+3^3+5^3+\cdots+(2k-1)^3 \over 1+3+5+\cdots +(2k-1)}=2k^2-1$ ), és ennek felhasználásával lássuk be az állítást n=k+1-re. Mivel $1+3+5+\cdots(2k-1)={1+(2k-1)\over2}\cdot k=k^2$ , ezért 1³+3³+5³+^...+(2k-1)³=(2k²-1)k².

1³+3³+5³+^...+(2k-1)³+(2k+1)³=(2k²-1)k²+(2k+1)³=

$=2k^4+8k^3+11k^2+6k+1=\left(2(k+1)^2-1\right)(k+1)^2,$

amiből már (felhasználva, hogy $1+3+5+\cdots(2k+1)={1+(2k+1)\over2}\cdot (k+1)=(k+1)^2$ ) következik, hogy az állítás igaz n=k+1-re.

Ezzel a bizonyítást befejeztük.

Statistics on problem C. 854.

175 students sent a solution.

5 points: 155 students.

4 points: 1 student.

3 points: 2 students.

2 points: 5 students.

1 point: 1 student.

0 point: 11 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2006

Our web pages are supported by:

ELTE