KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Conditions
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years

 

 

Order KöMaL!

tehetseg.hu

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Competitions Portal

C. 854. Prove that the following equality is true for every positive integer n:


\frac{1^3+3^3+5^3+\ldots+ {(2n-1)}^3}{1+3+5+\ldots+(2n-1)}= 2n^2-1.

(5 points)

Deadline expired.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás: Teljes indukcióval bizonyítunk. Ha n=1, akkor igaz az állítás. Tegyük föl, hogy n=k-ra igaz (vagyis {1^3+3^3+5^3+\cdots+(2k-1)^3 \over 1+3+5+\cdots +(2k-1)}=2k^2-1), és ennek felhasználásával lássuk be az állítást n=k+1-re. Mivel 1+3+5+\cdots(2k-1)={1+(2k-1)\over2}\cdot k=k^2, ezért 13+33+53+...+(2k-1)3=(2k2-1)k2.

13+33+53+...+(2k-1)3+(2k+1)3=(2k2-1)k2+(2k+1)3=

=2k^4+8k^3+11k^2+6k+1=\left(2(k+1)^2-1\right)(k+1)^2,

amiből már (felhasználva, hogy 1+3+5+\cdots(2k+1)={1+(2k+1)\over2}\cdot (k+1)=(k+1)^2) következik, hogy az állítás igaz n=k+1-re.

Ezzel a bizonyítást befejeztük.


Statistics on problem C. 854.
175 students sent a solution.
5 points:155 students.
4 points:1 student.
3 points:2 students.
2 points:5 students.
1 point:1 student.
0 point:11 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, April 2006

  • Our web pages are supported by: Ericsson   Google   SzerencsejátĂ©k Zrt.   Emberi ErĹ‘források MinisztĂ©riuma   Emberi ErĹ‘forrás TámogatáskezelĹ‘   OktatáskutatĂł Ă©s FejlesztĹ‘ IntĂ©zet   ELTE   Nemzeti TehetsĂ©g Program