KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 854. (April 2006)

C. 854. Prove that the following equality is true for every positive integer n:


\frac{1^3+3^3+5^3+\ldots+ {(2n-1)}^3}{1+3+5+\ldots+(2n-1)}= 2n^2-1.

(5 pont)

Deadline expired on 18 May 2006.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Teljes indukcióval bizonyítunk. Ha n=1, akkor igaz az állítás. Tegyük föl, hogy n=k-ra igaz (vagyis {1^3+3^3+5^3+\cdots+(2k-1)^3 \over 1+3+5+\cdots +(2k-1)}=2k^2-1), és ennek felhasználásával lássuk be az állítást n=k+1-re. Mivel 1+3+5+\cdots(2k-1)={1+(2k-1)\over2}\cdot k=k^2, ezért 13+33+53+...+(2k-1)3=(2k2-1)k2.

13+33+53+...+(2k-1)3+(2k+1)3=(2k2-1)k2+(2k+1)3=

=2k^4+8k^3+11k^2+6k+1=\left(2(k+1)^2-1\right)(k+1)^2,

amiből már (felhasználva, hogy 1+3+5+\cdots(2k+1)={1+(2k+1)\over2}\cdot (k+1)=(k+1)^2) következik, hogy az állítás igaz n=k+1-re.

Ezzel a bizonyítást befejeztük.


Statistics:

175 students sent a solution.
5 points:155 students.
4 points:1 student.
3 points:2 students.
2 points:5 students.
1 point:1 student.
0 point:11 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley