Problem C. 854. (April 2006)

C. 854. Prove that the following equality is true for every positive integer n:

$\frac{1^3+3^3+5^3+\ldots+ {(2n-1)}^3}{1+3+5+\ldots+(2n-1)}= 2n^2-1.$

(5 pont)

Deadline expired on May 18, 2006.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Teljes indukcióval bizonyítunk. Ha n=1, akkor igaz az állítás. Tegyük föl, hogy n=k-ra igaz (vagyis ${1^3+3^3+5^3+\cdots+(2k-1)^3 \over 1+3+5+\cdots +(2k-1)}=2k^2-1$ ), és ennek felhasználásával lássuk be az állítást n=k+1-re. Mivel $1+3+5+\cdots(2k-1)={1+(2k-1)\over2}\cdot k=k^2$ , ezért 1³+3³+5³+^...+(2k-1)³=(2k²-1)k².

1³+3³+5³+^...+(2k-1)³+(2k+1)³=(2k²-1)k²+(2k+1)³=

$=2k^4+8k^3+11k^2+6k+1=\left(2(k+1)^2-1\right)(k+1)^2,$

amiből már (felhasználva, hogy $1+3+5+\cdots(2k+1)={1+(2k+1)\over2}\cdot (k+1)=(k+1)^2$ ) következik, hogy az állítás igaz n=k+1-re.

Ezzel a bizonyítást befejeztük.

Statistics:

175 students sent a solution.

5 points: 155 students.

4 points: 1 student.

3 points: 2 students.

2 points: 5 students.

1 point: 1 student.

0 point: 11 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2006

175 students sent a solution.
5 points:	155 students.
4 points:	1 student.
3 points:	2 students.
2 points:	5 students.
1 point:	1 student.
0 point:	11 students.

Already signed up?
New to KöMaL?