KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

MBUTTONS

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 854. Prove that the following equality is true for every positive integer n:


\frac{1^3+3^3+5^3+\ldots+ {(2n-1)}^3}{1+3+5+\ldots+(2n-1)}= 2n^2-1.

(5 points)

Deadline expired on 18 May 2006.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás: Teljes indukcióval bizonyítunk. Ha n=1, akkor igaz az állítás. Tegyük föl, hogy n=k-ra igaz (vagyis {1^3+3^3+5^3+\cdots+(2k-1)^3 \over 1+3+5+\cdots +(2k-1)}=2k^2-1), és ennek felhasználásával lássuk be az állítást n=k+1-re. Mivel 1+3+5+\cdots(2k-1)={1+(2k-1)\over2}\cdot k=k^2, ezért 13+33+53+...+(2k-1)3=(2k2-1)k2.

13+33+53+...+(2k-1)3+(2k+1)3=(2k2-1)k2+(2k+1)3=

=2k^4+8k^3+11k^2+6k+1=\left(2(k+1)^2-1\right)(k+1)^2,

amiből már (felhasználva, hogy 1+3+5+\cdots(2k+1)={1+(2k+1)\over2}\cdot (k+1)=(k+1)^2) következik, hogy az állítás igaz n=k+1-re.

Ezzel a bizonyítást befejeztük.


Statistics on problem C. 854.
175 students sent a solution.
5 points:155 students.
4 points:1 student.
3 points:2 students.
2 points:5 students.
1 point:1 student.
0 point:11 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, April 2006

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program  
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley