Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem C. 856. (May 2006)

C. 856. Find all natural numbers n, such that

5n+12n2+12n+3

is divisible by 100.

(5 pont)

Deadline expired on June 15, 2006.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

A kifejezés pontosan akkor osztható 100-zal, ha 4-gyel és 25-tel is osztható.

n=0 és n=1 nem megoldás, a továbbiakban csak n>1-re vizsgáljuk a kifejezést.

5n 4-gyel osztva 1 maradékot ad, 12n2 és 12n osztható 4-gyel, így 5n+12n2+12n+3 oszható 4-gyel.

5n+12n2+12n+3=5n+3(4n2+4n+1)=5n+3(2n+1)2, amiből 5n osztható 25-tel. 3(2n+1)2 akkor osztható 25-tel, ha (2n+1)2 osztható 25-tel, vagyis (2n+1) osztható 5-tel. Mivel (2n+1) páratlan szám, ezért ez csak úgy teljesülhet, ha utolsó jegye 5, azaz 2n+1=10k+5. Innen n=5k+2.

Minden olyan szám, ami 5k+2 alakú (k\geq0, egész) megfelelő.


Statistics:

158 students sent a solution.
5 points:61 students.
4 points:47 students.
3 points:17 students.
2 points:14 students.
1 point:12 students.
0 point:6 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2006