Problem C. 856. (May 2006)
C. 856. Find all natural numbers n, such that
5n+12n2+12n+3
is divisible by 100.
(5 pont)
Deadline expired on June 15, 2006.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
A kifejezés pontosan akkor osztható 100-zal, ha 4-gyel és 25-tel is osztható.
n=0 és n=1 nem megoldás, a továbbiakban csak n>1-re vizsgáljuk a kifejezést.
5n 4-gyel osztva 1 maradékot ad, 12n2 és 12n osztható 4-gyel, így 5n+12n2+12n+3 oszható 4-gyel.
5n+12n2+12n+3=5n+3(4n2+4n+1)=5n+3(2n+1)2, amiből 5n osztható 25-tel. 3(2n+1)2 akkor osztható 25-tel, ha (2n+1)2 osztható 25-tel, vagyis (2n+1) osztható 5-tel. Mivel (2n+1) páratlan szám, ezért ez csak úgy teljesülhet, ha utolsó jegye 5, azaz 2n+1=10k+5. Innen n=5k+2.
Minden olyan szám, ami 5k+2 alakú (k0, egész) megfelelő.
Statistics:
158 students sent a solution. 5 points: 61 students. 4 points: 47 students. 3 points: 17 students. 2 points: 14 students. 1 point: 12 students. 0 point: 6 students. Unfair, not evaluated: 1 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, May 2006