C. 856. Find all natural numbers n, such that

5ⁿ+12n²+12n+3

is divisible by 100.

(5 points)

Deadline expired.

Sorry, the solution is published in Hungarian only.

A kifejezés pontosan akkor osztható 100-zal, ha 4-gyel és 25-tel is osztható.

n=0 és n=1 nem megoldás, a továbbiakban csak n>1-re vizsgáljuk a kifejezést.

5ⁿ 4-gyel osztva 1 maradékot ad, 12n² és 12n osztható 4-gyel, így 5ⁿ+12n²+12n+3 oszható 4-gyel.

5ⁿ+12n²+12n+3=5ⁿ+3(4n²+4n+1)=5ⁿ+3(2n+1)², amiből 5ⁿ osztható 25-tel. 3(2n+1)² akkor osztható 25-tel, ha (2n+1)² osztható 25-tel, vagyis (2n+1) osztható 5-tel. Mivel (2n+1) páratlan szám, ezért ez csak úgy teljesülhet, ha utolsó jegye 5, azaz 2n+1=10k+5. Innen n=5k+2.

Minden olyan szám, ami 5k+2 alakú (k0, egész) megfelelő.

Statistics on problem C. 856. 158 students sent a solution. 5 points: 61 students. 4 points: 47 students. 3 points: 17 students. 2 points: 14 students. 1 point: 12 students. 0 point: 6 students. Unfair, not evaluated: 1 solution.