Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem C. 856. (May 2006)

C. 856. Find all natural numbers n, such that

5n+12n2+12n+3

is divisible by 100.

(5 pont)

Deadline expired on June 15, 2006.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

A kifejezés pontosan akkor osztható 100-zal, ha 4-gyel és 25-tel is osztható.

n=0 és n=1 nem megoldás, a továbbiakban csak n>1-re vizsgáljuk a kifejezést.

5n 4-gyel osztva 1 maradékot ad, 12n2 és 12n osztható 4-gyel, így 5n+12n2+12n+3 oszható 4-gyel.

5n+12n2+12n+3=5n+3(4n2+4n+1)=5n+3(2n+1)2, amiből 5n osztható 25-tel. 3(2n+1)2 akkor osztható 25-tel, ha (2n+1)2 osztható 25-tel, vagyis (2n+1) osztható 5-tel. Mivel (2n+1) páratlan szám, ezért ez csak úgy teljesülhet, ha utolsó jegye 5, azaz 2n+1=10k+5. Innen n=5k+2.

Minden olyan szám, ami 5k+2 alakú (k\geq0, egész) megfelelő.


Statistics:

158 students sent a solution.
5 points:61 students.
4 points:47 students.
3 points:17 students.
2 points:14 students.
1 point:12 students.
0 point:6 students.
Unfair, not evaluated:1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2006