KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Conditions
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years

 

 

Order KöMaL!

tehetseg.hu

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Competitions Portal

C. 858. The perimeter and the area of a rectangle are equal to the perimeter and the area of a rhombus, respectively, that has an angle of 30o. Find the ratio of the sides of the rectangle.

(5 points)

Deadline expired.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás: Jelöljük a téglalap oldalainak hosszát a-val és b-vel, a rombusz oldalainak hosszát x-el. Mivel a rombusz kisebb szöge 30o-os, ezért magassága az x oldal fele. A két négyszög kerületének és területének egyenlőségéből az alábbi egyenleteket kapjuk:

2(a+b)=4x

ab=\frac{x^2}{2}

Mivel minden ismeretlen pozitív, ezért az elsőt négyzetre emelve és rendezve, majd abból kivonva a második kétszeresét az a2+b2=3x2 egyenlőséget kapjuk. Ide behelyettesítve az eredeti második egyenlőséget az a2+b2-6ab=0 egyenlőség adódik. A nem zérus értékű b2-tel osztva az egyenletet az

(\frac{a}{b})^2-6(\frac{a}{b})+1=0

másodfokú adódik. Ennek gyökei egymás reciprokai, x_{12}=3\pm2\sqrt2. A téglalap nagyobb és kisebb oldalának aránya tehát 3+2\sqrt2.


Statistics on problem C. 858.
147 students sent a solution.
5 points:136 students.
4 points:1 student.
2 points:4 students.
1 point:1 student.
0 point:4 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, May 2006

  • Our web pages are supported by: Ericsson   Google   SzerencsejátĂ©k Zrt.   Emberi ErĹ‘források MinisztĂ©riuma   Emberi ErĹ‘forrás TámogatáskezelĹ‘   OktatáskutatĂł Ă©s FejlesztĹ‘ IntĂ©zet   ELTE   Nemzeti TehetsĂ©g Program