Problem C. 858.

Order KöMaL!

ELTE

Competitions Portal

C. 858. The perimeter and the area of a rectangle are equal to the perimeter and the area of a rhombus, respectively, that has an angle of 30^o. Find the ratio of the sides of the rectangle.

(5 points)

Deadline expired.

Sorry, the solution is published in Hungarian only.

Megoldás: Jelöljük a téglalap oldalainak hosszát a-val és b-vel, a rombusz oldalainak hosszát x-el. Mivel a rombusz kisebb szöge 30^o-os, ezért magassága az x oldal fele. A két négyszög kerületének és területének egyenlőségéből az alábbi egyenleteket kapjuk:

2(a+b)=4x

$ab=\frac{x^2}{2}$

Mivel minden ismeretlen pozitív, ezért az elsőt négyzetre emelve és rendezve, majd abból kivonva a második kétszeresét az a²+b²=3x² egyenlőséget kapjuk. Ide behelyettesítve az eredeti második egyenlőséget az a²+b²-6ab=0 egyenlőség adódik. A nem zérus értékű b²-tel osztva az egyenletet az

$(\frac{a}{b})^2-6(\frac{a}{b})+1=0$

másodfokú adódik. Ennek gyökei egymás reciprokai, $x_{12}=3\pm2\sqrt2$ . A téglalap nagyobb és kisebb oldalának aránya tehát $3+2\sqrt2$ .

Statistics on problem C. 858.

147 students sent a solution.

5 points: 136 students.

4 points: 1 student.

2 points: 4 students.

1 point: 1 student.

0 point: 4 students.

Unfair, not evaluated: 1 solution.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2006

Our web pages are supported by:

ELTE