Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem C. 858. (May 2006)

C. 858. The perimeter and the area of a rectangle are equal to the perimeter and the area of a rhombus, respectively, that has an angle of 30o. Find the ratio of the sides of the rectangle.

(5 pont)

Deadline expired on June 15, 2006.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Jelöljük a téglalap oldalainak hosszát a-val és b-vel, a rombusz oldalainak hosszát x-el. Mivel a rombusz kisebb szöge 30o-os, ezért magassága az x oldal fele. A két négyszög kerületének és területének egyenlőségéből az alábbi egyenleteket kapjuk:

2(a+b)=4x

ab=\frac{x^2}{2}

Mivel minden ismeretlen pozitív, ezért az elsőt négyzetre emelve és rendezve, majd abból kivonva a második kétszeresét az a2+b2=3x2 egyenlőséget kapjuk. Ide behelyettesítve az eredeti második egyenlőséget az a2+b2-6ab=0 egyenlőség adódik. A nem zérus értékű b2-tel osztva az egyenletet az

(\frac{a}{b})^2-6(\frac{a}{b})+1=0

másodfokú adódik. Ennek gyökei egymás reciprokai, x_{12}=3\pm2\sqrt2. A téglalap nagyobb és kisebb oldalának aránya tehát 3+2\sqrt2.


Statistics:

147 students sent a solution.
5 points:136 students.
4 points:1 student.
2 points:4 students.
1 point:1 student.
0 point:4 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2006