KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

apehman

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 858. The perimeter and the area of a rectangle are equal to the perimeter and the area of a rhombus, respectively, that has an angle of 30o. Find the ratio of the sides of the rectangle.

(5 points)

Deadline expired on 15 June 2006.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás: Jelöljük a téglalap oldalainak hosszát a-val és b-vel, a rombusz oldalainak hosszát x-el. Mivel a rombusz kisebb szöge 30o-os, ezért magassága az x oldal fele. A két négyszög kerületének és területének egyenlőségéből az alábbi egyenleteket kapjuk:

2(a+b)=4x

ab=\frac{x^2}{2}

Mivel minden ismeretlen pozitív, ezért az elsőt négyzetre emelve és rendezve, majd abból kivonva a második kétszeresét az a2+b2=3x2 egyenlőséget kapjuk. Ide behelyettesítve az eredeti második egyenlőséget az a2+b2-6ab=0 egyenlőség adódik. A nem zérus értékű b2-tel osztva az egyenletet az

(\frac{a}{b})^2-6(\frac{a}{b})+1=0

másodfokú adódik. Ennek gyökei egymás reciprokai, x_{12}=3\pm2\sqrt2. A téglalap nagyobb és kisebb oldalának aránya tehát 3+2\sqrt2.


Statistics on problem C. 858.
147 students sent a solution.
5 points:136 students.
4 points:1 student.
2 points:4 students.
1 point:1 student.
0 point:4 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, May 2006

  • Támogatóink:   Ericsson   Google   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program  
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley