KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 859. (May 2006)

C. 859. Prove that the equality


c^2+2ab\sin\, (\gamma+30^{\circ}) =b^2+2ac\sin\, (\beta+30^{\circ}) =a^2+2bc\sin\,
(\alpha+30^{\circ}).

holds in every triangle.

Suggested by G. Holló, Budapest

(5 pont)

Deadline expired on June 15, 2006.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás.

c^2+2ab\sin\left(\gamma+30^{\circ}\right)=
c^2+2ab\left(\sin\gamma\cdot{\sqrt3\over2}+\cos\gamma\cdot{1\over2}\right)=
c^2+ab\sin\gamma\cdot\sqrt3+ab\cos\gamma=

=c^2+2t\cdot\sqrt3+ab\cdot{a^2+b^2-c^2\over2ab}=2\sqrt3\cdot t+{a^2+b^2+c^2\over2}.

Ez konstans. Vagyis az egyenlőség valóban teljesül, mert mindhárom ezzel a konstanssal egyenlő.


Statistics:

100 students sent a solution.
5 points:88 students.
4 points:7 students.
3 points:1 student.
2 points:2 students.
1 point:1 student.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley