Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem C. 862. (September 2006)

C. 862. Find the number pairs x, y for which the following inequality is true: 2|x+y|\le|x|+|y|.

(5 pont)

Deadline expired on October 16, 2006.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: A feladatot öt esetre bontjuk.

I. eset: x<0, y<0. Ekkor az egyenlőtlenség így néz ki: 2(-x-y)\leq-x-y, vagyis 0\leqx+y, ami ebben az esetben nem lehetséges.

II. eset: x>0, y>0. Ekkor az egyenlőtlenség így néz ki: 2(x+y)\leqx+y, vagyis x+y\leq0, ami ebben az esetben nem lehetséges.

III. eset: x>0, y<0. Ekkor x+y\geq0 esetén azt kapjuk, hogy y\leq-x/3; x+y<0 esetén pedig azt, hogy y\geq-3x. A kettő egyesítve: -3x\leqy\leq-x/3, ami az ábrán a zölddel satírozott rész.

IV. eset: x<0, y>0. Ekkor x+y\geq0 esetén azt kapjuk, hogy y\leq-3x; x+y<0 esetén pedig azt, hogy y\geq-x/3. A kettő egyesítve: -x/3\leqy\leq-3x, ami az ábrán a szürkével satírozott rész.

V. eset: x=0 vagy y=0. Ez csak akkor lehet, ha mindkettő 0, és ez is jó megoldás: x=y=0.


Statistics:

466 students sent a solution.
5 points:170 students.
4 points:58 students.
3 points:42 students.
2 points:41 students.
1 point:57 students.
0 point:91 students.
Unfair, not evaluated:7 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2006