KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 868. (October 2006)

C. 868. Four distinct points are given in the plane. The pairwise distance between 4 points is 1, and the distance between a certain pair is 1.2. What can be said about the distance between the remaining 2 points?

(5 pont)

Deadline expired on 15 November 2006.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ha a négy egységnyi távolság közül három egy szabályos háromszöget határoz meg, akkor (ezt a három csúcsot A-val, B-vel és C-vel jelölve) két lehetőség van a többi szakasz elhelyezkedésére.

Mindkét esetben az 1,2 hosszú és az egységnyi oldal háromszöget alkot ABC egyik (mondjuk AB) oldalával. Ennek 3. csúcsát D-vel, illetve D'-vel jelölve az ABD (illetve ABD') háromszög oldalaiból kiszámítható koszinusz-tétellel az ABD\angle=ABD'\angle, értéke 53,13o-nak adódik. Ezután a CBD, illetve CBD' háromszögben az ismeretlen CD, illetve CD' oldal szintén a koszinusz tétellel kapható meg, hosszára 1,84, illetve 0,24 adódik.

Ha a négy egységnyi hosszú oldal egy rombuszt alkot, akkor annak átlói 1,2, illetve az ismeretlen x. A Pitagorasz tételből 12=(1,2/2)2+(x/2)2, innen x=1,6.

Tehát az ismeretlen hatodik távolság 0,24, 1,6 vagy 1,84 lehet.


Statistics:

438 students sent a solution.
5 points:80 students.
4 points:69 students.
3 points:97 students.
2 points:130 students.
1 point:21 students.
0 point:35 students.
Unfair, not evaluated:6 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley