Problem C. 868. (October 2006)

C. 868. Four distinct points are given in the plane. The pairwise distance between 4 points is 1, and the distance between a certain pair is 1.2. What can be said about the distance between the remaining 2 points?

(5 pont)

Deadline expired on November 15, 2006.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ha a négy egységnyi távolság közül három egy szabályos háromszöget határoz meg, akkor (ezt a három csúcsot A-val, B-vel és C-vel jelölve) két lehetőség van a többi szakasz elhelyezkedésére.

Mindkét esetben az 1,2 hosszú és az egységnyi oldal háromszöget alkot ABC egyik (mondjuk AB) oldalával. Ennek 3. csúcsát D-vel, illetve D'-vel jelölve az ABD (illetve ABD') háromszög oldalaiból kiszámítható koszinusz-tétellel az ABD=ABD', értéke 53,13^o-nak adódik. Ezután a CBD, illetve CBD' háromszögben az ismeretlen CD, illetve CD' oldal szintén a koszinusz tétellel kapható meg, hosszára 1,84, illetve 0,24 adódik.

Ha a négy egységnyi hosszú oldal egy rombuszt alkot, akkor annak átlói 1,2, illetve az ismeretlen x. A Pitagorasz tételből 1²=(1,2/2)²+(x/2)², innen x=1,6.

Tehát az ismeretlen hatodik távolság 0,24, 1,6 vagy 1,84 lehet.

Statistics:

438 students sent a solution.
5 points:	80 students.
4 points:	69 students.
3 points:	97 students.
2 points:	130 students.
1 point:	21 students.
0 point:	35 students.
Unfair, not evaluated:	6 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2006