Problem C. 892. (March 2007)
C. 892. Prove that if x, y, z are positive real numbers and xyz=1, then the values of the expressions
cannot all be greater than .
(5 pont)
Deadline expired on April 16, 2007.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Indirekt bizonyítunk. Tegyük föl, hogy mindhárom kifejezés nagyobb, mint 1/3. Ekkor teljesül az is, hogy:
3>1+x+xy,
3y>1+y+yz,
3xz>1+z+xz.
Ezekből z helyére 1/xy-t beírva
(1) | 3>1+x+xy, |
(2) | 3y>1+y+1/x, |
(3) | 3x.1/xy>1+1/xy+x.1/xy |
következik. (1)-hez hozzáadva (2) x-szeresét és (3) xy-szorosát kapjuk, hogy:
3+3xy+3x>3+3x+3xy,
ami lehetetlen.
Kezdeti feltevésünk tehát hamis, nem lehet mindegyik kifejezés 1/3-nál nagyobb.
Statistics:
238 students sent a solution. 5 points: 168 students. 4 points: 23 students. 3 points: 8 students. 2 points: 2 students. 1 point: 4 students. 0 point: 17 students. Unfair, not evaluated: 16 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, March 2007