Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem C. 892. (March 2007)

C. 892. Prove that if x, y, z are positive real numbers and xyz=1, then the values of the expressions


\frac{1}{1+x+xy},\qquad \frac{y}{1+y+yz},\qquad \frac{xz}{1+z+xz}

cannot all be greater than \frac{1}{3}.

(5 pont)

Deadline expired on April 16, 2007.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Indirekt bizonyítunk. Tegyük föl, hogy mindhárom kifejezés nagyobb, mint 1/3. Ekkor teljesül az is, hogy:

3>1+x+xy,

3y>1+y+yz,

3xz>1+z+xz.

Ezekből z helyére 1/xy-t beírva

(1)3>1+x+xy,
(2)3y>1+y+1/x,
(3)3x.1/xy>1+1/xy+x.1/xy

következik. (1)-hez hozzáadva (2) x-szeresét és (3) xy-szorosát kapjuk, hogy:

3+3xy+3x>3+3x+3xy,

ami lehetetlen.

Kezdeti feltevésünk tehát hamis, nem lehet mindegyik kifejezés 1/3-nál nagyobb.


Statistics:

238 students sent a solution.
5 points:168 students.
4 points:23 students.
3 points:8 students.
2 points:2 students.
1 point:4 students.
0 point:17 students.
Unfair, not evaluated:16 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2007