C. 902. A circle K is touched on the inside by a circle k of half the radius. Construct a chord in K, perpendicular to the line connecting the centres of the circles that is divided into three equal parts by its intersections with k.

(5 points)

Deadline expired.

Sorry, the solution is published in Hungarian only.

Megoldás. Messe a húr a két kör középpontját összekötő szakaszt a nagyobbik kör középpontjától x távolságra, és legyen a három egyenlő szakasz hossza 2d.

Két Pitagorasz tételt írhatunk fel:

x²+(3d)²=(2r)²,

(r-x)²+d²=r².

Ez utóbbiból d²=2rx-x², amit az elsőbe helyettesítve és rendezve

4x²-9rx+2r²=0.

Innen x₁=2r és x₂=r/4, csak az utóbbi megoldás.

A keresett húrt úgy kapjuk meg, hogy kétszer elfelezünk egy r hosszúságú szakaszt, és a nagyobbik kör középpontjától ekkora távolságban állítunk merőlegest a két kör középpontját összekötő szakaszra.

Statistics on problem C. 902. 119 students sent a solution. 5 points: Bacsó András, Bencs 111 Ferenc, Berta Katalin, Besnyő Réka, Buza Dániel István, Csere Kálmán, Csizmadija Laura, Czotter Eszter, Dékány Tamás, Dudás 904 Ádám, Englert Ákos, Erdős Edina, Fábián Anna, Fridrik József Richárd, Györök Péter, Horváth 385 Vanda, Horváth Anikó, Izsó Dániel, Kiss 106 Judit, Kiss 777 Viktória, Kőszegi Tamás, Kovács Györgyi, Kovács Solt, Kupcsik Réka, Lantos Tamás, Márkus Bence, Molnár Kristóf, Nagy 216 Eszter, Németh 144 Bálint, Németh Erika Judit, Orbán Réka, Papp 001 Zoltán, Pócs Anita, Poócza Katalin, Prok Tamás, Pulai Gábor, Pupli Dorottya, Sánta Eszter, Schäfer Fanni, Sedyó Inez, Simon Gergely, Szabó 963 Noémi, Szakács Enikő, Szalai Szilárd, Szikszay László, Sövény András, Varga 001 Áron, Veres Gábor Pál, Vida György. 4 points: 47 students. 3 points: 2 students. 0 point: 13 students. Unfair, not evaluated: 8 solutions.