KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Conditions
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years

 

 

Order KöMaL!

tehetseg.hu

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Competitions Portal

C. 904. Find the acute angles \alpha and \beta that satisfy the following simultaneous equations:

2\sin2\beta & =3\sin2\alpha,

{\rm tan}\, \beta & =3{\rm tan}\, \alpha.

(5 points)

Deadline expired on 15 June 2007.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Az egyenleteket átalakítva:

(1)4sin \betacos \beta=6sin \alphacos \alpha,
(2)\frac{\sin\beta}{\cos\beta}=\frac{3\sin\alpha}{\cos\alpha}.

(1)-et és (2)-t összeszorozva és a kapott egyenletet 4-gyel osztva:

(3)sin2\beta=4,5sin2\alpha.

Mivel \alpha és \beta hegyesszögek, ezért ebből

\sin\beta=\sqrt{4,5}\sin\alpha.

(3)-at átalakítva:

1-cos2\beta=4,5(1-cos2\alpha),

ahonnan az előbbiek szerint

(4)\cos\beta=\sqrt{4,5\cos^2\alpha-3,5}.

A sin \beta-ra és cos \beta-ra kapott értékeket (2)-be behelyettesítve, mindkét oldalt sin \alpha\neq0-val osztva, majd az egyenletet négyzetre emelve és rendezve:

cos2\alpha=0,875,

ahonnan

\alpha=\arccos\sqrt{0,875}\approx20,70^{\circ}.

A kapott értéket (4)-be behelyettesítve:

\cos\beta=\sqrt{0,4375},

és így

\beta=\arccos\sqrt{0,4375}\approx48,59^{\circ}.


Statistics on problem C. 904.
112 students sent a solution.
5 points:80 students.
4 points:15 students.
3 points:1 student.
2 points:1 student.
0 point:6 students.
Unfair, not evaluated:9 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, May 2007

  • Our web pages are supported by: Ericsson   Google   SzerencsejátĂ©k Zrt.   Emberi ErĹ‘források MinisztĂ©riuma   Emberi ErĹ‘forrás TámogatáskezelĹ‘   OktatáskutatĂł Ă©s FejlesztĹ‘ IntĂ©zet   ELTE   Nemzeti TehetsĂ©g Program