KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

apehman

Rendelje meg a KöMaL-t!

Kifordítható

tetraéder

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 904. Find the acute angles \alpha and \beta that satisfy the following simultaneous equations:

2\sin2\beta & =3\sin2\alpha,

{\rm tan}\, \beta & =3{\rm tan}\, \alpha.

(5 points)

Deadline expired on 15 June 2007.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Az egyenleteket átalakítva:

(1)4sin \betacos \beta=6sin \alphacos \alpha,
(2)\frac{\sin\beta}{\cos\beta}=\frac{3\sin\alpha}{\cos\alpha}.

(1)-et és (2)-t összeszorozva és a kapott egyenletet 4-gyel osztva:

(3)sin2\beta=4,5sin2\alpha.

Mivel \alpha és \beta hegyesszögek, ezért ebből

\sin\beta=\sqrt{4,5}\sin\alpha.

(3)-at átalakítva:

1-cos2\beta=4,5(1-cos2\alpha),

ahonnan az előbbiek szerint

(4)\cos\beta=\sqrt{4,5\cos^2\alpha-3,5}.

A sin \beta-ra és cos \beta-ra kapott értékeket (2)-be behelyettesítve, mindkét oldalt sin \alpha\neq0-val osztva, majd az egyenletet négyzetre emelve és rendezve:

cos2\alpha=0,875,

ahonnan

\alpha=\arccos\sqrt{0,875}\approx20,70^{\circ}.

A kapott értéket (4)-be behelyettesítve:

\cos\beta=\sqrt{0,4375},

és így

\beta=\arccos\sqrt{0,4375}\approx48,59^{\circ}.


Statistics on problem C. 904.
112 students sent a solution.
5 points:80 students.
4 points:15 students.
3 points:1 student.
2 points:1 student.
0 point:6 students.
Unfair, not evaluated:9 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, May 2007

  • Támogatóink:   Ericsson   Google   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program  
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley