Problem C. 904.

Order KöMaL!

ELTE

Competitions Portal

C. 904. Find the acute angles $\alpha$ and $\beta$ that satisfy the following simultaneous equations:

$2\sin2\beta & =3\sin2\alpha,$

${\rm tan}\, \beta & =3{\rm tan}\, \alpha.$

(5 points)

Deadline expired.

Sorry, the solution is published in Hungarian only.

Megoldás. Az egyenleteket átalakítva:

(1)	4sin $\beta$ cos $\beta$ =6sin $\alpha$ cos $\alpha$ ,

(2)	$\frac{\sin\beta}{\cos\beta}=\frac{3\sin\alpha}{\cos\alpha}.$

(1)-et és (2)-t összeszorozva és a kapott egyenletet 4-gyel osztva:

(3)	sin² $\beta$ =4,5sin² $\alpha$ .

Mivel $\alpha$ és $\beta$ hegyesszögek, ezért ebből

$\sin\beta=\sqrt{4,5}\sin\alpha.$

(3)-at átalakítva:

1-cos² $\beta$ =4,5(1-cos² $\alpha$ ),

ahonnan az előbbiek szerint

(4)	$\cos\beta=\sqrt{4,5\cos^2\alpha-3,5}.$

A sin $\beta$ -ra és cos $\beta$ -ra kapott értékeket (2)-be behelyettesítve, mindkét oldalt sin $\alpha$ $\neq$ 0-val osztva, majd az egyenletet négyzetre emelve és rendezve:

cos² $\alpha$ =0,875,

ahonnan

$\alpha=\arccos\sqrt{0,875}\approx20,70^{\circ}.$

A kapott értéket (4)-be behelyettesítve:

$\cos\beta=\sqrt{0,4375},$

és így

$\beta=\arccos\sqrt{0,4375}\approx48,59^{\circ}.$

Statistics on problem C. 904.

112 students sent a solution.

5 points: 80 students.

4 points: 15 students.

3 points: 1 student.

2 points: 1 student.

0 point: 6 students.

Unfair, not evaluated: 9 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2007

Our web pages are supported by:

ELTE