Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem C. 904. (May 2007)

C. 904. Find the acute angles \alpha and \beta that satisfy the following simultaneous equations:

2\sin2\beta & =3\sin2\alpha,

{\rm tan}\, \beta & =3{\rm tan}\, \alpha.

(5 pont)

Deadline expired on June 15, 2007.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az egyenleteket átalakítva:

(1)4sin \betacos \beta=6sin \alphacos \alpha,
(2)\frac{\sin\beta}{\cos\beta}=\frac{3\sin\alpha}{\cos\alpha}.

(1)-et és (2)-t összeszorozva és a kapott egyenletet 4-gyel osztva:

(3)sin2\beta=4,5sin2\alpha.

Mivel \alpha és \beta hegyesszögek, ezért ebből

\sin\beta=\sqrt{4,5}\sin\alpha.

(3)-at átalakítva:

1-cos2\beta=4,5(1-cos2\alpha),

ahonnan az előbbiek szerint

(4)\cos\beta=\sqrt{4,5\cos^2\alpha-3,5}.

A sin \beta-ra és cos \beta-ra kapott értékeket (2)-be behelyettesítve, mindkét oldalt sin \alpha\neq0-val osztva, majd az egyenletet négyzetre emelve és rendezve:

cos2\alpha=0,875,

ahonnan

\alpha=\arccos\sqrt{0,875}\approx20,70^{\circ}.

A kapott értéket (4)-be behelyettesítve:

\cos\beta=\sqrt{0,4375},

és így

\beta=\arccos\sqrt{0,4375}\approx48,59^{\circ}.


Statistics:

112 students sent a solution.
5 points:80 students.
4 points:15 students.
3 points:1 student.
2 points:1 student.
0 point:6 students.
Unfair, not evaluated:9 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2007