KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 904. (May 2007)

C. 904. Find the acute angles \alpha and \beta that satisfy the following simultaneous equations:

2\sin2\beta & =3\sin2\alpha,

{\rm tan}\, \beta & =3{\rm tan}\, \alpha.

(5 pont)

Deadline expired on 15 June 2007.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az egyenleteket átalakítva:

(1)4sin \betacos \beta=6sin \alphacos \alpha,
(2)\frac{\sin\beta}{\cos\beta}=\frac{3\sin\alpha}{\cos\alpha}.

(1)-et és (2)-t összeszorozva és a kapott egyenletet 4-gyel osztva:

(3)sin2\beta=4,5sin2\alpha.

Mivel \alpha és \beta hegyesszögek, ezért ebből

\sin\beta=\sqrt{4,5}\sin\alpha.

(3)-at átalakítva:

1-cos2\beta=4,5(1-cos2\alpha),

ahonnan az előbbiek szerint

(4)\cos\beta=\sqrt{4,5\cos^2\alpha-3,5}.

A sin \beta-ra és cos \beta-ra kapott értékeket (2)-be behelyettesítve, mindkét oldalt sin \alpha\neq0-val osztva, majd az egyenletet négyzetre emelve és rendezve:

cos2\alpha=0,875,

ahonnan

\alpha=\arccos\sqrt{0,875}\approx20,70^{\circ}.

A kapott értéket (4)-be behelyettesítve:

\cos\beta=\sqrt{0,4375},

és így

\beta=\arccos\sqrt{0,4375}\approx48,59^{\circ}.


Statistics:

112 students sent a solution.
5 points:80 students.
4 points:15 students.
3 points:1 student.
2 points:1 student.
0 point:6 students.
Unfair, not evaluated:9 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley