KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 909. (September 2007)

C. 909. The lengths of the sides of a triangle are whole numbers. One of them is 7, and the opposite angle is 60o. What may be the area of the triangle?

(Suggested by B. Kovács, Szatmárnémeti)

(5 pont)

Deadline expired on 15 October 2007.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Jelölje a háromszög két ismeretlen hosszúságú oldalát a és b. Tudjuk, hogy az általuk bezárt szög 60o, és így a háromszög területe t=\frac12\cdot\frac{\sqrt3}{2}\cdot ab=\frac{\sqrt3ab}{4}.

A koszinusz-tételt felírva a háromszögre:

7^2=a^2+b^2-2ab\cdot\frac12,

49=a2+b2-ab=(a-b)2+ab.

Mivel ab pozitív, így (a-b)2 értékére hét lehetőség adódik. A szimmetria miatt feltehetjük, hogy a\leqb.

Ha a-b=6, akkor ab=49-62=13, ebből nem egész megoldásokat kapunk.

Ha a-b=5, akkor ab=49-52=24, ekkor a1=8, b1=3.

Megvizsgálva az összes lehetőséget, még két megoldás adódik: a-b=3, ab=49-32=40, ekkor a2=8, b2=5; illetve a-b=0, ekkor a3=b3=7.

A területek rendre:

t_1=6\sqrt3, t_2=10\sqrt3 és t_3=\frac{49\sqrt3}{4}.


Statistics:

422 students sent a solution.
5 points:146 students.
4 points:52 students.
3 points:17 students.
2 points:28 students.
1 point:72 students.
0 point:99 students.
Unfair, not evaluated:7 solutions.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley