KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 909. The lengths of the sides of a triangle are whole numbers. One of them is 7, and the opposite angle is 60o. What may be the area of the triangle?

(Suggested by B. Kovács, Szatmárnémeti)

(5 points)

Deadline expired on 15 October 2007.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás: Jelölje a háromszög két ismeretlen hosszúságú oldalát a és b. Tudjuk, hogy az általuk bezárt szög 60o, és így a háromszög területe t=\frac12\cdot\frac{\sqrt3}{2}\cdot ab=\frac{\sqrt3ab}{4}.

A koszinusz-tételt felírva a háromszögre:

7^2=a^2+b^2-2ab\cdot\frac12,

49=a2+b2-ab=(a-b)2+ab.

Mivel ab pozitív, így (a-b)2 értékére hét lehetőség adódik. A szimmetria miatt feltehetjük, hogy a\leqb.

Ha a-b=6, akkor ab=49-62=13, ebből nem egész megoldásokat kapunk.

Ha a-b=5, akkor ab=49-52=24, ekkor a1=8, b1=3.

Megvizsgálva az összes lehetőséget, még két megoldás adódik: a-b=3, ab=49-32=40, ekkor a2=8, b2=5; illetve a-b=0, ekkor a3=b3=7.

A területek rendre:

t_1=6\sqrt3, t_2=10\sqrt3 és t_3=\frac{49\sqrt3}{4}.


Statistics on problem C. 909.
422 students sent a solution.
5 points:146 students.
4 points:52 students.
3 points:17 students.
2 points:28 students.
1 point:72 students.
0 point:99 students.
Unfair, not evaluated:7 solutions.
Unfair, not evaluated:1 solution.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, September 2007

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley