Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem C. 909. (September 2007)

C. 909. The lengths of the sides of a triangle are whole numbers. One of them is 7, and the opposite angle is 60o. What may be the area of the triangle?

(Suggested by B. Kovács, Szatmárnémeti)

(5 pont)

Deadline expired on October 15, 2007.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Jelölje a háromszög két ismeretlen hosszúságú oldalát a és b. Tudjuk, hogy az általuk bezárt szög 60o, és így a háromszög területe t=\frac12\cdot\frac{\sqrt3}{2}\cdot ab=\frac{\sqrt3ab}{4}.

A koszinusz-tételt felírva a háromszögre:

7^2=a^2+b^2-2ab\cdot\frac12,

49=a2+b2-ab=(a-b)2+ab.

Mivel ab pozitív, így (a-b)2 értékére hét lehetőség adódik. A szimmetria miatt feltehetjük, hogy a\leqb.

Ha a-b=6, akkor ab=49-62=13, ebből nem egész megoldásokat kapunk.

Ha a-b=5, akkor ab=49-52=24, ekkor a1=8, b1=3.

Megvizsgálva az összes lehetőséget, még két megoldás adódik: a-b=3, ab=49-32=40, ekkor a2=8, b2=5; illetve a-b=0, ekkor a3=b3=7.

A területek rendre:

t_1=6\sqrt3, t_2=10\sqrt3 és t_3=\frac{49\sqrt3}{4}.


Statistics:

421 students sent a solution.
5 points:146 students.
4 points:52 students.
3 points:17 students.
2 points:28 students.
1 point:72 students.
0 point:99 students.
Unfair, not evaluated:7 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2007