Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 909. feladat (2007. szeptember)

C. 909. Egy háromszög oldalhosszúságai egész számok, egyik közülük 7, a vele szemben fekvő szög mértéke 60o. Mennyi lehet a háromszög területe?

Javasolta: Kovács Béla (Szatmárnémeti)

(5 pont)

A beküldési határidő 2007. október 15-én LEJÁRT.


Megoldás: Jelölje a háromszög két ismeretlen hosszúságú oldalát a és b. Tudjuk, hogy az általuk bezárt szög 60o, és így a háromszög területe t=\frac12\cdot\frac{\sqrt3}{2}\cdot ab=\frac{\sqrt3ab}{4}.

A koszinusz-tételt felírva a háromszögre:

7^2=a^2+b^2-2ab\cdot\frac12,

49=a2+b2-ab=(a-b)2+ab.

Mivel ab pozitív, így (a-b)2 értékére hét lehetőség adódik. A szimmetria miatt feltehetjük, hogy a\leqb.

Ha a-b=6, akkor ab=49-62=13, ebből nem egész megoldásokat kapunk.

Ha a-b=5, akkor ab=49-52=24, ekkor a1=8, b1=3.

Megvizsgálva az összes lehetőséget, még két megoldás adódik: a-b=3, ab=49-32=40, ekkor a2=8, b2=5; illetve a-b=0, ekkor a3=b3=7.

A területek rendre:

t_1=6\sqrt3, t_2=10\sqrt3 és t_3=\frac{49\sqrt3}{4}.


Statisztika:

421 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:146 versenyző.
4 pontot kapott:52 versenyző.
3 pontot kapott:17 versenyző.
2 pontot kapott:28 versenyző.
1 pontot kapott:72 versenyző.
0 pontot kapott:99 versenyző.
Nem versenyszerű:7 dolgozat.

A KöMaL 2007. szeptemberi matematika feladatai