Problem C. 911. (October 2007)

C. 911. Find the positive integers n for which n³+1 and n²-1 are both divisible by 101.

(5 pont)

Deadline expired on November 15, 2007.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: n³+1=(n+1)(n²-n+1), és n²-1=(n+1)(n-1). Mivel 101 prím, ezért két lehetőség van:

I. 101|n+1

II. 101|n²-n+1 és 101|n-1.

Az I. esetben n=101k-1, ahol k tetszőleges pozitív egész.

A II. esetben 101|(n²-n+1)+(n-1)=n². Mivel 101 prím, ezért ekkor 101|n. De 101|n-1 is teljesül, ami nem lehetséges. Ekkor tehát nincs megoldás.

Statistics:

428 students sent a solution.
5 points:	368 students.
4 points:	6 students.
3 points:	11 students.
2 points:	7 students.
1 point:	20 students.
0 point:	13 students.
Unfair, not evaluated:	3 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2007