KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 911. (October 2007)

C. 911. Find the positive integers n for which n3+1 and n2-1 are both divisible by 101.

(5 pont)

Deadline expired on 15 November 2007.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: n3+1=(n+1)(n2-n+1), és n2-1=(n+1)(n-1). Mivel 101 prím, ezért két lehetőség van:

I. 101|n+1

II. 101|n2-n+1 és 101|n-1.

Az I. esetben n=101k-1, ahol k tetszőleges pozitív egész.

A II. esetben 101|(n2-n+1)+(n-1)=n2. Mivel 101 prím, ezért ekkor 101|n. De 101|n-1 is teljesül, ami nem lehetséges. Ekkor tehát nincs megoldás.


Statistics:

428 students sent a solution.
5 points:368 students.
4 points:6 students.
3 points:11 students.
2 points:7 students.
1 point:20 students.
0 point:13 students.
Unfair, not evaluated:3 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley