KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

C. 912. Is there a right-angled triangle in which the lengths a, b, c of the sides are integers, (a,b,c)=1 and the length of one median is 7.5?

(5 points)

Deadline expired on 15 November 2007.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás: Jelölje a és b a két befogót, c pedig az átfogót.

I. eset: az átfogóhoz tartozó súlyvonal hossza 7,5. Ez egyben c/2 is, vagyis ekkor c=15, és így

a2+b2=15.

Mivel 15 oszható 3-mal, ezért a bal oldal is osztható 3-mal. Egy négyzetszám 3-mal osztva 0 vagy 1 maradékot ad, így két négyzetszám összege csak akkor lehet 3-mal oszható, ha mindkét szám oszható 3-mal. Ekkor viszont (a,b,c)\neq1.

II. eset: az egyik befogóhoz tartozó súlyvonal hossza 7,5. Legyen ez mondjuk a b oldal. Ekkor

a^2+\frac{b^2}{4}=7,5^2,

ahonnan

(2a)2+b2=152.

A jobb oldal osztható 3-mal, így az előző esethez hasonlóan azt kapjuk, hogy 2a és b is 3-mal oszható, így a és b is, tehát (a,b,c)\neq1.

Nincs ilyen derékszögű háromszög.


Statistics on problem C. 912.
392 students sent a solution.
5 points:199 students.
4 points:55 students.
3 points:34 students.
2 points:27 students.
1 point:34 students.
0 point:40 students.
Unfair, not evaluated:3 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, October 2007

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley