KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem C. 912. (October 2007)

C. 912. Is there a right-angled triangle in which the lengths a, b, c of the sides are integers, (a,b,c)=1 and the length of one median is 7.5?

(5 pont)

Deadline expired on November 15, 2007.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Jelölje a és b a két befogót, c pedig az átfogót.

I. eset: az átfogóhoz tartozó súlyvonal hossza 7,5. Ez egyben c/2 is, vagyis ekkor c=15, és így

a2+b2=15.

Mivel 15 oszható 3-mal, ezért a bal oldal is osztható 3-mal. Egy négyzetszám 3-mal osztva 0 vagy 1 maradékot ad, így két négyzetszám összege csak akkor lehet 3-mal oszható, ha mindkét szám oszható 3-mal. Ekkor viszont (a,b,c)\neq1.

II. eset: az egyik befogóhoz tartozó súlyvonal hossza 7,5. Legyen ez mondjuk a b oldal. Ekkor

a^2+\frac{b^2}{4}=7,5^2,

ahonnan

(2a)2+b2=152.

A jobb oldal osztható 3-mal, így az előző esethez hasonlóan azt kapjuk, hogy 2a és b is 3-mal oszható, így a és b is, tehát (a,b,c)\neq1.

Nincs ilyen derékszögű háromszög.


Statistics:

392 students sent a solution.
5 points:199 students.
4 points:55 students.
3 points:34 students.
2 points:27 students.
1 point:34 students.
0 point:40 students.
Unfair, not evaluated:3 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley