Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem C. 913. (October 2007)

C. 913. The centre of the inscribed circle of triangle ABC is O, and the centre of the escribed circle drawn to side BC is K. On what condition will the quadrilateral BKCO be a kite? On what condition will it be a rectangle?

(5 pont)

Deadline expired on November 15, 2007.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: A szokásos jelölésekkel:

BOC\angle=180o-\gamma/2-\beta/2=180o-(90o-\alpha/2)=90o+\alpha/2>90o,

tehát a négyszög sosem lesz téglalap.

Mivel a belső és a külső szögfelezők merőlegesek egymásra, ezért

OCK\angle=OBK\angle=90o.

Mivel COB\angle>90o, ezért CKB\angle<90o, tehát a négyszög csak úgy lehet deltoid, ha az OK átlójára szimmetrikus. Ekkor OC=OB, vagyis az OBC háromszög egyenlő szárú, így \gamma/2=\beta/2, tehát \gamma=\beta. Ekkor a BCK háromszög is egyenlő szárú, mert a BC-n fekvő szögei egyenlőek. Így BK=CO is teljesül.

Vagyis a négyszög akkor deltoid, ha \gamma=\beta, vagyis AC=BC.


Statistics:

357 students sent a solution.
5 points:78 students.
4 points:77 students.
3 points:52 students.
2 points:61 students.
1 point:24 students.
0 point:54 students.
Unfair, not evaluated:11 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2007