KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Conditions
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years

 

 

Order KöMaL!

tehetseg.hu

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Competitions Portal

C. 913. The centre of the inscribed circle of triangle ABC is O, and the centre of the escribed circle drawn to side BC is K. On what condition will the quadrilateral BKCO be a kite? On what condition will it be a rectangle?

(5 points)

Deadline expired on 15 November 2007.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás: A szokásos jelölésekkel:

BOC\angle=180o-\gamma/2-\beta/2=180o-(90o-\alpha/2)=90o+\alpha/2>90o,

tehát a négyszög sosem lesz téglalap.

Mivel a belső és a külső szögfelezők merőlegesek egymásra, ezért

OCK\angle=OBK\angle=90o.

Mivel COB\angle>90o, ezért CKB\angle<90o, tehát a négyszög csak úgy lehet deltoid, ha az OK átlójára szimmetrikus. Ekkor OC=OB, vagyis az OBC háromszög egyenlő szárú, így \gamma/2=\beta/2, tehát \gamma=\beta. Ekkor a BCK háromszög is egyenlő szárú, mert a BC-n fekvő szögei egyenlőek. Így BK=CO is teljesül.

Vagyis a négyszög akkor deltoid, ha \gamma=\beta, vagyis AC=BC.


Statistics on problem C. 913.
357 students sent a solution.
5 points:78 students.
4 points:77 students.
3 points:52 students.
2 points:61 students.
1 point:24 students.
0 point:54 students.
Unfair, not evaluated:11 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, October 2007

  • Our web pages are supported by: Ericsson   Google   SzerencsejátĂ©k Zrt.   Emberi ErĹ‘források MinisztĂ©riuma   Emberi ErĹ‘forrás TámogatáskezelĹ‘   OktatáskutatĂł Ă©s FejlesztĹ‘ IntĂ©zet   ELTE   Nemzeti TehetsĂ©g Program