Problem C. 913.

Order KöMaL!

ELTE

Competitions Portal

C. 913. The centre of the inscribed circle of triangle ABC is O, and the centre of the escribed circle drawn to side BC is K. On what condition will the quadrilateral BKCO be a kite? On what condition will it be a rectangle?

(5 points)

Deadline expired.

Sorry, the solution is published in Hungarian only.

Megoldás: A szokásos jelölésekkel:

BOC $\angle$ =180^o- $\gamma$ /2- $\beta$ /2=180^o-(90^o- $\alpha$ /2)=90^o+ $\alpha$ /2>90^o,

tehát a négyszög sosem lesz téglalap.

Mivel a belső és a külső szögfelezők merőlegesek egymásra, ezért

OCK $\angle$ =OBK $\angle$ =90^o.

Mivel COB $\angle$ >90^o, ezért CKB $\angle$ <90^o, tehát a négyszög csak úgy lehet deltoid, ha az OK átlójára szimmetrikus. Ekkor OC=OB, vagyis az OBC háromszög egyenlő szárú, így $\gamma$ /2= $\beta$ /2, tehát $\gamma$ = $\beta$ . Ekkor a BCK háromszög is egyenlő szárú, mert a BC-n fekvő szögei egyenlőek. Így BK=CO is teljesül.

Vagyis a négyszög akkor deltoid, ha $\gamma$ = $\beta$ , vagyis AC=BC.

Statistics on problem C. 913.

357 students sent a solution.

5 points: 78 students.

4 points: 77 students.

3 points: 52 students.

2 points: 61 students.

1 point: 24 students.

0 point: 54 students.

Unfair, not evaluated: 11 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2007

Our web pages are supported by:

ELTE